L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Economique et Social
La Réunion - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (5 points) - Commun à tous les candidats

Soit une fonction définie sur l'intervalle [-5 ; 2] et sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.

Partie A.

Un logiciel fournit le graphique qui figure ci-dessous.
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.

1. Donner une estimation de où est la fonction dérivée de la fonction .

2. a) Donner un encadrement d'amplitude 1 de .
   b) Donner une valeur approchée à 0,5 près de la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle [0 ; 2].

Partie B.

Dans cette partie on sait que la fonction est définie par : pour tout élément de [-5 ; 2], .

1. a) On nomme la fonction dérivée de la fonction . Calculer pour élément de [-5 ; 2].
   b) Justifier l'affirmation : " Sur l'intervalle [-5 ; 2], la fonction admet un maximum pour et ce maximum est égal à e ".

2. Donner une équation de la droite tangente à la courbe en son point d'abscisse 0.

3. Soit g la fonction définie par : pour élément de [-5 ; 2], .
   a) Calculer où est la fonction dérivée de la fonction g.
   b) Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle [0 ; 2] (en donner la valeur exacte).

 Exercice 2 (5 points) - Commun à tous les candidats

Les deux parties sont totalement indépendantes.

Partie A.

Soient A, B, C et T quatre événements associés à une épreuve aléatoire.
On note l'événement contraire de l'événement T.
On donne l'arbre de probabilité suivant.

1. Donner la probabilité p_A(T) de l'événement " T sachant que A est réalisé ".

2. Calculer :
   a) la probabilité p(B) de l'événement B ;
   b) la probabilité de l'événement " non T sachant que A est réalisé " ;
   c) la probabilité p(A T) de l'événement " A et T ".

3. On sait que la probabilité p(T) de l'événement T est : p(T) = 0,3.
   a) Calculer la probabilité p_T(A).
   b) Calculer la probabilité p_B(T).

Partie B.

Un domino est une petite plaque partagée en deux parties.
Sur chacune des parties figure une série de points.
Il peut y avoir de zéro à six points dans une série.

Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents.

Lors d'une fête, on propose le jeu suivant :
le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu,
il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré.
On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés.

1. Etablir la loi de probabilité des gains possibles.

2. Le joueur doit miser 7 € avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?

 Exercice 3 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5 une et une seule des trois propositions (a), (b), (c) est exacte.

Indiquer sur la copte le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0.

1. Le nombre d'habitants d'une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006.
Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :

(a) : 11,2 %

(b) : -12,6 %

(c) : -11,2 %

2. Effectuer une augmentation de 15 % suivie d'une baisse de 15 % revient à :

(a) : ne procéder à aucune modification.

(b) : effectuer une augmentation de 2,25 %.

(c) : effectuer une diminution de 2,25%.

3. On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2 % par an.
Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près de :

(a) : 32 %

(b) : 29 %

(c) : 37 %

4. La suite (u_n) est définie par : pour tout entier naturel n, u_n = e^{-nln 2}.

(a) : (un) est une suite géométrique de raison - ln 2.

(b) : (un) est une suite géométrique de raison .

(c) : (un) n'est pas une suite géométrique.

5. On a représenté un nuage de points et effectué un ajustement affine :

Selon cet ajustement, lorsque x prendra la valeur 7, v vaudra environ :

(a) : 1,8.

(b) : 6,1.

(c) : 445.

 Exercice 3 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions (a), (b), (c) est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0.

1. La suite (u_n) est définie par : pour tout entier naturel n,

(a) : La suite (un) est croissante.

(b) : La suite (un) est décroissante.

(c) : La suite (un) n'est pas monotone.

2. La suite (u_n) est définie par : u₀ = 2 et, pour tout entier naturel n, u_n+1 - u_n = 0,1u_n

(a) : La suite (un) est arithmétique.

(b) : La suite (un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.

(c) : La suite (un) est géométrique.

3. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
le plan (P) d'équation ,
la droite (D) d'équations cartésiennes y = 1 et .

(a) : La droite (D) est sécante au plan (P).

(b) : La droite (D) est incluse dans le plan (P).

(c) : La droite (D) est strictement parallèle au plan (P).

4. La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est :

(a) : Le graphe G compose 12 arêtes.

(b) : Le graphe G admet une chaîne eulérienne.

(c) : Le graphe G est complet.

5. Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2 % chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires.
Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est :

(a) : 23 900.

(b) : 718 927.

(c) : 743 306.

 Exercice 4 (5 points) - Commun à tous les candidats

Partie A.

On considère les fonctions et g définies sur l'intervalle [1 ; 50] par :

1. Démontrer que la fonction est croissante sur l'intervalle [1 ; 50].

2. La fonction h est définie sur l'installe [1 ; 50] par : .
   a) On admet que la dérivée de la fonction h est la fonction h' définie par : pour tout élément de l'intervalle [1 ; 50], .
Résoudre l'équation sur l'intervalle [1 ; 50].
Etudler le signe de sur l'intervalle [1 ; 50].
   b) Dresser le tableau des variations de la fonction h.
   c) On admet que, dans l'intervalle [1 ; 50], l'équation admet une unique solution . A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10^-2 près de .
   d) Expliquer pourquoi
pour tout élément de l'intervalle [1 ; ], ,
pour tout élément de l'intervalle [ ; 50], .

3. a) Démonter que pour tout élément de l'intervalle [1 ; 50], .
   b) Démontrer que la fonction g admet un minimum pour .
   c) En utilisant le fait que , exprimer en fonction de puis déduire de la question précédente que .

Parle B. Application

Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'suros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant :
le coût total de production C_T est donné par C_T = , où est la quantité produite exprimée en tonnes,
pour une production de tonnes, le coût moyen C_M de production d'une tonne est donné par C_M = et le coût marginal C de production est donné par C = .
(Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis ci-dessous.

1. Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38 000 € la tonne.

2. Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de 45 000 euros la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice.

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