L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Littéraire
Session 2007

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 3

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

 Exercice 1 (6 points)

Le dessin ci-dessous représente une maison en perspective parallèle.

ABCDEFGH est un pavé droit dont les faces ABCD et EFGH sont horizontales et constituent respectivement le sol et le plafond de la maison. L'arête [AE] est donc verticale.
Les deux faces ABCD et EFGH sont des carrés.

EFGHNL est un prisme droit ; la base EFN de ce prisme droit est un triangle isocèle en N dont la hauteur [NM] est telle que NM = AE.

Dans cet exercice, on convient de noter un point de l'espace avec une lettre majuscule et de noter son image dans une perspective centrale avec une lettre minuscule (ainsi a est l'image de A, b l'image de B).

Les représentations données en annexe 1 et 2 sont à compléter.
Aucune justification des constructions n'est attendue mais on laissera visibles les traits de construction.

1. Une représentation en perspective centrale de cette maison est commencée sur l'annexe 1.
Sont tracés la ligne d'horizon et le point de fuite principal W. Le mur ABFE est supposé dans un plan frontal.
   a) A l'aide de la représentation des diagonales des carrés ABCD et EFGH, construire sur le dessin de l'annexe 1 les points de distance d₁ et d₂ de cette représentation en perspective centrale.
   b) Compléter sur l'annexe 1 la représentation de la maison dans cette perspective centrale.
   c) Placer l'image i du milieu I de [AE] ainsi que l'image j du milieu J de [CG]. Par quel point la droite (ij) doit-elle passer ?

2. Une autre représentation en perspective centrale de la maison est commencée sur l'annexe 2. Les points w et w' sont les points de fuite respectifs des droites (AB) et (BC). Achever sur l'annexe 2 la représentation de la maison dans cette nouvelle perspective centrale.

3. Citer deux propriétés de la perspective parallèle qui ne sont pas vérifiées par une perspective centrale. Les illustrer en faisant référence à la représentation donnée en début d'exercice et à celles complétées dans les annexes 1 et 2.

ANNEXE 1 :


ANNEXE 2 :

 Exercice 2 (9 points)

On considère la suite (u_n) géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison 3.

1. a) Déterminer les termes u₁, u₂, u₃ et u₄.
   b) Donner l'écriture en base 7 de u₂.
   c) Montrer que l'écriture en base 7 de u₃ est .
   d) Pour obtenir l'écriture en base 7 de u₄, un élève a effectué la multiplication ci-dessous. Dire s'il a ou non raison et expliquer pourquoi.

2. a) Montrer que u₅ = 486.
   b) On considère l'algorithme suivant :

Entrée : a un entier naturel.

Initialisation :
L liste vide ;
Affecter la valeur a à x.

Traitement :
Tant que x > 0 ;
Effectuer la division euclidienne de x par 7 ;
Affecter son reste à r et son quotient à q ;
Mettre la valeur de r au début de la liste L ;
Affecter q à x.

Sortie : Afficher les éléments de la liste L.

Faire fonctionner cet algorithme pour a = 486. On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complètera :

	r	q	L	x
Initialisation			vide	486
Fin étape 1
Fin étape 2
...
...
...

Expliquer le lien entre les éléments de la liste L et l'écriture de u₅ en base 7.

3. On a divisé le terme u₁₀ de la suite (u_n) par un certain entier. On obtient le quotient Q dont l'écriture décimale est Q = 14,72727272727272... écriture dans laquelle les chiffres 7 et 2 se répètent à l'infini.

On note (v_n) la suite géométrique de premier terme 0,72 et de raison 0,01.
   a) Calculer v₀ + v₁ + v₂.
   b) On pose S_n = v₀ + v₁ + v₂ + ... + v_n où n est un entier naturel non nul.
Calculer S_n. En déduire S_n .
   c) En déduire une écriture de 0,727272...où les chiffres 7 et 2 se répètent à l'infini sous la forme du quotient de deux entiers.
   d) Quel est le nombre par lequel on a divisé u₁₀ ?

 Exercice 3 (5 points)

Dans chacune des questions suivantes, plusieurs choix sont proposés et un seul choix est correct.
Pour chacune de ces questions, on indiquera sur la copie le choix retenu. Aucune justification n'est demandée.

Une bonne exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point.
Une absence de réponse est notée 0.
Si, à la fin de l'exercice, le total des points obtenus est négatif, la note sera ramenée à 0.

1. On considère l'égalité .
Cette égalité est vérifiée :
   a) Pour une seule valeur du nombre réel .
   b) Pour n'importe quelle valeur du nombre réel .
   c) Pour deux valeurs du nombre réel .
   d) Pour aucune valeur du nombre réel .

2. On considère l'arbre de probabilité incomplet suivant :

Alors la probabilité de l'événement est égale à :
   a) 0,8
   b) 0,32
   c) 0,12
   d) 0,4

3. La fonction g est définie pour tout nombre réel par . La fonction dérivée de la fonction g est telle que, pour tout nombre réél :
   a)
   b)
   c)
   d)

4. La fonction est définie, pour tout nombre réel strictement positif , par :
On donne ci-dessous une représentation graphique de la fonction obtenue grâce à un tableur.

La fonction présente un minimum en :
   a) 2,7.
   b) .
   c) 0,37.
   d) e.

5. La courbe ci-dessous représente graphiquement une fonction .
On note la fonction dérivée de .

La courbe représentant la fonction se trouve parmi l'une des quatre courbes données ci-dessous.
Laquelle ?

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