L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Scientifique
Liban - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'apprécition des copies.

 Exercice 1 (6 points) - Commun à tous les candidats

Soient et g les fonctions définies sur l'intervalle ]0 ; +[ par : et .
On note et les courbes représentatives de et dans un repère orthogonal.
Les courbes et sont données ci-dessous.

1. a) Etudier le signe de sur ]0 ; +[.
   b) En déduire la position relative des deux courbes et sur ]0 ; +[.

2. Pour appartenant à ]0 ; +[, M est le point de d'abscisse et N est le point de de même abscisse.
   a) Soit h la fonction définie sur ]0 ; +[ par .
Etudier les variations de la fonction h sur ]0 ; +[.
   b) En déduire que sur l'intervalle [1 , e], la valeur maximale de la distance MN est obtenue pour .
   c) Résoudre dans ]0 ; +[ l'équation .
   d) En déduire que, sur , il existe deux réels a et b (a < b) pour lesquels la distance MN est égale à 1.

3. a) A l'aide d'une intégration par parties, calculer .
   b) Vérifier que la fonction G définie sur ]0 ; +[ par est une primitive de la fonction g sur ]0 ; +[.
   c) On considère la partie du plan délimitée par les courbes , et les droites d'équations et .
Déterminer l'aire en unités d'aire de cette partie du plan.

 Exercice 2 (5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormal .
On considère la droite (d) dont un système d'équations paramétriques est
On note A le point de coordonnées (2 , -1 , 1), B le point de coordonnées (4 , -2 , 2) et C le point de (d) d'abscisse 1.

1. Proposition 1
" La droite (d) est parallèle à l'axe ".

2. Proposition 2
" Le plan P d'équation est le plan passant par A et orthogonal à (d) ".

3. Proposition 3
"La mesure de l'angle géométrique est radians ".

4. Soit G le barycentre des points pondérés (A ; -1), (B ; 1) et (C ; 1).
Proposition 4
" Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu ".

5. Proposition 5
" La sphère de centre C et passant par B coupe le plan P d'équation ".

 Exercice 2 (5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère la transformation du plan qui à tout point d'affixe z associe le point d'affixe z' définie par : z' = 2iz + 1.
Proposition 1 : " Cette transformation est la similitude directe de centre A d'affixe , d'angle et de rapport 2 ".

2. Dans l'espace muni du repère orthonormal , on note S la surface d'équation .
Proposition 2 : " La section de S avec le plan d'équation z = 5 est un cercle de centre A de coordonnées (-1 , 0 , 5) et de rayon 5 ".

3. Proposition 3 : " 5⁷⁵⁰ - 1 est un multiple de 7 ".

4. Proposition 4 : " Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n + 4 et de 4n + 3 est égal à 7 ".

5. Soient a et b deux entiers naturels.
Proposition 5 : " S'il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 2 alors le PGCD de a et b est égal à 2 ".

 Exercice 3 (4 points) - Commun à tous les candidats

On considère deux urnes U₁ et U₂.
L'urne U₁ contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
L'urne U₂ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.
On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :
Etape 1 : on tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on la remet dans U₁.
Etape n (n 2) :
    Si la boule tirée à l'étape (n - 1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on la remet dans U₁.
    Si la boule tirée à l'étape (n - 1) est noire, on tire au hasard une boule dans U₂, on note sa couleur et on la remet dans U₂.

On note A_n l'évènement " le tirage a lieu dans l'urne U₁ à l'étape n " et p_n sa probabilité.
On a donc p₁ = 1.

1. Calculer p2.

2. Montrer que pour tout n entier naturel non nul, p_n+1 = 0,8p_n + 0,05.
On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

3. Calculer p₃.

4. a) Démontrer par récurrence que pour tout n entier naturel non nul, p_n > 0,25.
   b) Démontrer que la suite (pn) est décroissante.
   c) En déduire que la suite (p_n) est convergente vers un réel noté .
   d) Justifier que vérifie l'équation : . En déduire la valeur de .

 Exercice 4 (5 points) - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct .
On considère l'application qui à tout point M d'affixe z non nulle associe le point d'affixe z' tel que : .
Le cercle , de centre O et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée ci-dessous, que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

Pour z complexe non nul, on note , r étant le module de z et un argument de z.

1. Montrer que

2. Déterminer l'affixe a' du point A', image par du point A d'affixe a = 3.

3. Soit B le point d'affixe b = + i.
   a) Ecrire b sous forme exponentielle.
   b) Déterminer l'affixe b' du point B', image du point B par .

4. Placer A, B, A' et B' sur la figure.

5. a) Déterminer l'ensemble E des points M du plan privé du point O dont l'image par est O.
   b) Représenter E sur la figure.

6. Montrer que le cercle est l'ensemble des points M du plan distincts de O tels que .

7. Pour cette question, M est un point du plan, distinct de O, n'appartenant pas au cercle .
On appelle I le milieu du segment [MM'] où M' est l'image de M par .
   a) Montrer que I appartient .
   b) Montrer que I appartient à la demi-droite [OM).
   c) Sur la figure donnée précédemment est placé un point nommé M₁.
Construire le point M'₁, image par du point M₁.

cours particuliers