Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Métropole - Session Juin 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'apprécition des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

L'espace est muni du repère orthonormal $(O \: ; \: \vec{i} \: , \: \vec{j} \: , \: \vec{k})$ .
Soient (P) et (P') les plans d'équations respectives $x + 2y - z + 1 = 0$ et $-x + y + z = 0$ .
Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1).

1. Démontrer que les plans (P) et (P') sont perpendiculaires.

2. Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x & -\dfrac13 + t\\ y & -\dfrac13 \\ z & t \\ \end{array} \right.$ où $t$ est un nombre réel.
Démontrer que les plans (P) et (P') se coupent selon la droite (d).

3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P') .

4. En déduire la distance du point A à la droite (d).

3 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée de connaissances
Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle [a ; b].

2. Soient les deux intégrales définies par $\text{I} = \displaystyle \int_0^{\pi} e^x \sin x \text{d}x \text{ et } \text{J} = \displaystyle \int_0^{\pi} e^x \cos x \text{d}x$ .
a) Démontrer que I = —J et que $\text{I = J} + e^{\pi} + 1$ .
b) En déduire les valeurs exactes de I et de J.

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère l'équation : (E) z³ — (4 + i) z² + (13 + 4i) z — 13i = 0 où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.

2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z³ — (4 + i) z² + (13 + 4i) z — 13i = (z — i)(az² + bz + c).

3. En déduire les solutions de l'équation (E).

Partie B

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct $(O \: ; \: \vec{u} \: , \: \vec{v})$ , on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, 2 + 3i et 2 — 3i.

1. Soit r la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ . Déterminer l'affixe du point A', image du point A par la rotation r.

2. Démontrer que les points A', B et C sont alignés et déterminer l'écriture complexe de l'homothétie de centre B qui transforme C en A'.

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La figure est proposée ci-dessous. Elle sera complétée tout au long de l'exercice.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, métropole 2007 - terminale : image 2

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct $(O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v})$ , on considère les points A, B et C, d'affixes respectives -5 + 6i, —7 — 2i et 3 — 2i.
On admet que le point F, d'affixe —2 + i est le centre du cercle $\Gamma$ circonscrit au triangle ABC.

1. Soit H le point d'affixe —5. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en point H.

2. a) Étant donné des nombres complexes z et z', on note M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'. Soient a et b des nombres complexes.
Soit s la transformation d'écriture complexe $z' = a\bar{z} + b$ qui, au point M, associe le point M'.
Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est alors la nature de s ?
b) En déduire l'affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC).
c) Vérifier que le point E est un point du cercle $\Gamma$ .

3. Soit I le milieu du segment [AC].
Déterminer l'affixe du point G, image du point I par l'homothétie de centre B et de rapport $\frac23$ .
Démontrer que les points H, G et F sont alignés.

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à 10^—3 près.

1. Un représentant de commerce propose un produit à la vente.
Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est égale à 0,2.
Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu'il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à :

a) 0,4

b) 0,04

c) 0,1024

d) 0,2048

2. Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l'a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu'il ait eu son permis du premier coup est égale à :

a) 0,043

b) 0,275

c) 0,217

d) 0,033

3. Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à :

a) 0,100

b) 0,091

c) 0,111

d) 0,25

4. Un tireur sur cible s'entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30 centimètres. On admet que la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à :

a) $\dfrac59$

b) $\dfrac{9}{14}$

c) $\dfrac47$

d) $\dfrac13$

5 points

exercice 5 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = x - \dfrac{\ln(1 + x)}{1+x}$ .
La courbe $\scr{C}$ représentative de $f$ est donnée sur le document ci-dessous que l'on complètera.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, métropole 2007 - terminale : image 1

Partie A : Etude de certaines propriétés de la courbe $\scr{C}$

1. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [.

2. Pour tout $x$ de l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [, on pose $\text{N}(x) = (1 + x)^2 - 1 + \ln(1 + x)$ .
Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ]-1 ; + $\infty$ [.
Calculer N(0). En déduire les variations de $f$ .

3. Soit $\scr{D}$ la droite d'équation y = $x$ .
Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\scr{C}$ et de la droite $\scr{D}$ .

Partie B : Etude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction $f$

1. Démontrer que si $x \in [0 \: ; \: 4]$ , alors $f(x) \in [0 \: ; \: 4]$ .

2. On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 4 et $\text{u}_{n+1} = f(\text{u}_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ .
    a) Sur le graphique, en utilisant la courbe $\scr{C}$ et la droite $\scr{D}$ , placer les points de $\scr{C}$ d'abscisses u₀, u₁, u₂ et u₃.
    b) Démontrer que pour tout n de $\mathbb{N}$ on a : $u_n \in [0 \: ; \: 4]$ .
    c) Etudier la monotonie de la suite (u_n).
    d) Démontrer que la suite (u_n) est convergente. On désigne par l sa limite.
    e) Utiliser la partie A pour donner la valeur de l.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Rappel :

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Déterminons donc les vecteurs normaux aux plans $(P)$ et $(P')$ :

Théorème :

Si $ax+by+cz+d=0$ est l'équation cartésienne d'un plan, alors le vecteur $(a,b,c)$ est un vecteur normal au plan.

Le plan $(P)$ a pour équation cartésienne $x+2y-z+1=0$ donc le vecteur $\overrightarrow{n} = (1,2,-1)$ est un vecteur normal à $(P)$ .
Le plan $(P')$ a pour équation cartésienne $-x+y+z=0$ donc le vecteur $\overrightarrow{n'}=(-1,1,1)$ est un vecteur normal à $(P')$ .
$\vec{n} \cdot \vec{n'}$ = 1 × (-1) + 2 × 1 + (-1) × 1 = -1 + 2 - 1 = 0 donc les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ sont orthogonaux donc les plans $(P)$ et $(P')$ sont orthogonaux.

2. Soit M un point de (d).
M $\in$ (d) donc $x_M = -\dfrac{1}{3}+t$ et $y_M = -\dfrac{1}{3}$ et $z_M = t$ .
Donc : $x_M + 2y_M - z_M + 1 = -\dfrac{1}{3}+t+2 \left(-\dfrac{1}{3}\right)-t+1=0$ donc M $\in (P)$ .
Et $-x_M+y_M+z_M = -\left(-\dfrac{1}{3}+t\right)-\dfrac{1}{3}+t = \dfrac{1}{3}-t-\dfrac{1}{3}+t = 0$ donc M $\in (P')$
On en conclut que les points de (d) appartiennent à la fois à $(P)$ et à $(P')$ : (d) est l'intersection des plans $(P)$ et $(P')$ .

3.

Théorème :

Si $ax+by+cz+d=0$ est l'équation cartésienne d'un plan et $(x_A,y_A,z_A)$ les coordonnées d'un point, alors la distance du point au plan est donnée par :
$d = \dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Distance de A à $(P)$ : $d = \dfrac{|1.0+2.1-1.1+1|}{\sqrt{1+4+1}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Distance de A à $(P')$ : $d' = \dfrac{|-1 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 1 + 0|}{\sqrt{1+1+1}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

4. On sait que les plans $(P)$ et $(P')$ sont perpendiculaires (cf. question 1), que (d) est l'intersection des plans (cf. question 2) et on connait la distance du point A aux plans (cf. question 3).
Soient H le projeté orthogonal de A sur $(P)$ , H' le projeté orthogonal de A sur $(P')$ et H'' le projeté orthogonal de A sur (d).
On a : AH = d et AH' = d' et on cherche AH''.
Comme (d) est l'intersection des plans $(P)$ et $(P')$ , H'' se situe dans le plan (AHH').
Comme $(P)$ et $(P')$ sont orthogonaux, (HH'') et (HH') sont perpendiculaires.
Dans le plan (AHH') le schéma est le suivant :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, métropole 2007 - terminale : image 3

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle AHH'' rectangle en H :
AH''² = AH² + HH''² = AH² + AH'² = d² + d'²
Donc $\text{AH}'' = \sqrt{d^2 + d'^2} = \sqrt{\dfrac{6}{9} + \dfrac{12}{9}} = \sqrt{\dfrac{18}{9}} = \sqrt{2}$ .
La distance de A à la droite (d) est $\sqrt{2}$ .

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur [a ; b].
Sur [a ; b], on a : $(u.v)' = u.v' + u.v'$ d'où $u.v' = (u.v)' - u'.v$
En intégrant entre a et b, on obtient alors : $\displaystyle \int_a^{b} u(x)v'(x) \text{d}x = \displaystyle \int_a^{b} (u(x)v(x))' \text{d}x - \displaystyle \int_a^{b} u'(x)v(x) \text{d}x = [u(x)v(x)]_a^b - \displaystyle \int_a^{b} u'(x)v(x) \text{d}x$

2. a) $I = \displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \text{d}x$
On pose $u(x) = e^x \text{ et } v'(x) = \sin x$ , $u$ et $v$ sont alors des fonctions dérivables à dérivées continues sur [0 ; $\pi$ ], et :
$u'(x) = e^x \text{ et } v(x) = -\cos x$ .
On obtient : $I = \displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \text{d}x = [e^x \times (- \cos x)]_0^\pi - \displaystyle \int_0^\pi e^x \times (- \cos x) \text{d}x = e^\pi + 1 + \displaystyle \int_0^\pi e^x \cos x \text{d}x = J + e^\pi + 1$
D'autre part, $J = \displaystyle \int_0^\pi e^x \cos x \text{d}x$
On pose $u(x) = e^x \text{ et } v'(x) = \cos x$ , $u$ et $v$ sont alors des fonctions dérivables à dérivées continues sur [0 ; $\pi$ ], et :
$u'(x) = e^x \text{ et } v(x) = \sin x$
On obtient : $J = \displaystyle \int_0^\pi e^x \cos x \text{d}x = [e^x \sin x]_0^\pi - \displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \text{d}x = 0 - 0 - \displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \text{d}x = -I$ donc I = -J

2. b) Il s'agit de résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} I & -J\\ I & J+e^\pi+1 \\ \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} I & -J \\ -J & J+e^\pi+1 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} I = -J \\ 2J = -e^\pi-1 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} I = \dfrac{e^\pi+1}{2} \\ J = -\dfrac{e^\pi+1}{2} \\ \end{array} \right.$

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. On remplace $z$ par i dans le premier membre.
$i^3 - (4 + i) \times i^2 + (13 + 4i) \times i - 13i = -i + 4 + i + 13i - 4 - 13i = 0$
donc i est solution de (E).

2. On développe le second membre puis on identifie les coefficients des deux polynômes obtenus :
$z^3 - (4 + i) \times z^2 + (13 + 4i) \times z - 13i = (z - i) \times (az^2 + bz + c)\\ z^3 - (4 + i) \times z^2 + (13 + 4i) \times z - 13i = az^3 + bz^2 + cz - aiz^2 - biz - ci\\ z^3 - (4 + i) \times z^2 + (13 + 4i) \times z - 13i = az^3 + (b - ai) \times z^2 + (c - bi) \times z - ci$
$\left \lbrace \begin{array}{l} a = 1 \\ b - ai = -4 - i \\ c - bi = 13 + 4i \\ -c = -13 \end{array} \right. \\ \left \lbrace \begin{array}{l} a = 1 \\ b = -4 \\ c = 13 \end{array} \right.$
et alors $z^3 - (4 + i) \times z^2 + (13 + 4i) \times z - 13i = (z - i) \times (z^2 - 4z + 13)$

3.
z est solution de (E) $\Longleftrightarrow z^3 - (4 + i) \times z^2 + (13 + 4i) \times z - 13i = 0$
$\Longleftrightarrow (z - i) \times (z^2 - 4z + 13) = 0 \\ \Longleftrightarrow z - i = 0 \text{ ou } z^2 - 4z + 13 = 0 \\ \Longleftrightarrow z = i \text{ ou } z^2 - 4z + 13 = 0$
Pour $z^2 - 4z + 13 = 0$ , équation du second degré à coefficients réels, on calcule le discriminant $\Delta$ = b² - 4ac = 16 - 4 × 1 × 13 = 16 - 52 = -36
donc $z_1 = \dfrac{4-6i}{2}=2-3i$ ou $z_2 = \dfrac{4+6i}{2}=2+3i$
Conclusion : S = { i ; 2 - 3i ; 2 + 3i }

Partie B

On remarque que les affixes des points A, B et C correspondent aux solutions trouvées dans la partie A ! Cela nous permet de vérifier que nos résultats sont justes.

1.

Rappel :

Soit r est la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $z_{\Omega}$ et d'angle $\theta$ alors :
M' d'affixe z' est l'image de M d'affixe z $\Longleftrightarrow z' - z_{\Omega} = e^{\text{i} \theta} (z - z_{\Omega})$

A' = r(A) donc $z_{\text{A}'} - z_{\text{B}} = e^{\text{i} \frac{pi}{4}}(z_{\text{A}} - z_{\text{B}})$
$z_{\text{A}'} = z_{\text{B}} + e^{\text{i}\frac{pi}{4}}(z_{\text{A}} - z_{\text{B}}) \\ = 2 + 3\text{i} + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i}\right)(\text{i} - 2 - 3\text{i}) \\ = 2 + 3\text{i} + \left(\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt2}{2}\text{i}\right)(-2 - 2\text{i}) \\ = 2 + 3\text{i} + (\sqrt{2} + \sqrt{2} \text{i})(-1 - \text{i}) \\ = 2 + 3\text{i} - \sqrt{2} - \sqrt{2} \text{i} - \sqrt{2} \text{i} + \sqrt{2} \\ = 2 + (3 - 2\sqrt{2})\text{i}$

2. $z_{\overrightarrow{\text{A}'\text{B}}} = z_{\text{B}} - z_{\text{A}'} = 2 + 3\text{i} - 2 - (3 - 2\sqrt{2})\text{i} = 2\sqrt{2}\text{i}$
$z_{\overrightarrow{\text{A}'\text{C}}} = z_{\text{C}} - z_{\text{A}'} = 2 - 3\text{i} - 2 - (3 - 2\sqrt{2})\text{i} = (2\sqrt{2} - 6)\text{i}$
On a donc $z_{\overrightarrow{\text{A}'\text{C}}} = \dfrac{2\sqrt{2} - 6}{2\sqrt{2}}z_{\overrightarrow{\text{A}'\text{B}}} = \dfrac{\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2}} z_{\overrightarrow{\text{A}'\text{B}}} = \dfrac{2 - 3\sqrt{2}}{2} z_{\overrightarrow{\text{A}'\text{B}}}$
Les vecteurs $\overrightarrow{\text{A}'\text{B}}$ et $\overrightarrow{\text{A}'\text{C}}$ sont donc colinéaires, les points A', B et C sont donc alignés.

exercice 3- Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Propriété :

Soit s la similitude directe de centre $\Omega$ transformant le point M d'affixe z en M' d'affixe z'.
Le rapport de la similitude est donné par $k = \left|\dfrac{z' - z_{\omega}}{z-z_{\omega}}\right|$ et l'angle par $\theta = \arg\left(\dfrac{z'-z_{\omega}}{z-z_{\omega}}\right)$ .

H = s(C)
$\dfrac{z_{\text{H}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}} = \dfrac{-5 - (-5 + 6\text{i})}{3 - 2\text{i} - (-5 + 6\text{i})} = \dfrac{-6\text{i}}{8 - 8\text{i}} = \dfrac{-3\text{i}}{4(1 - \text{i})} \\ k = \left|\dfrac{z_{\text{H}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}} \right| = \left|\dfrac{-3\text{i}}{4(1 - \text{i})}\right| = \dfrac{3}{4\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{8} \\ \theta = \arg\left(\dfrac{z_{\text{H}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}\right) = \arg\left(\dfrac{-3\text{i}}{4(1 - \text{i})}\right) = \arg(-3\text{i}) - \arg(4(1 - \text{i})) = -\dfrac{\pi}{2} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)[2\pi] = -\dfrac{\pi}{4} [2\pi]$
s est donc la similitude directe de rapport $\dfrac{3\sqrt{2}}{8}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}$ .

2. a) A et C invariants par s $\Longleftrightarrow$ A = s(A) et C = s(C).
Ecrivons $a = x_a+y_a\text{i}$ et $b = x_b+y_b\text{i}$ où $x_a,y_a,x_b,y_b$ sont des réels.
A = s(A) $\Longleftrightarrow \: -5 + 6\text{i} = (x_a + y_a \text{i})(\bar{-5+6\text{i}})+x_b+y_b\text{i}\: \Longleftrightarrow \: -5+6\text{i} = (x_a+y_a\text{i})(-5-6\text{i})+x_b+y_b\text{i}$
$\Longleftrightarrow \: -5 + 6\text{i} = -5x_a - 5y_a\text{i} - 6x_a\text{i} + 6y_a + x_b + y_b\text{i} \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} -5x_a + 6y_a + x_b & -5 \\ -6x_a-5y_a+y_b & 6 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_b & -5 + 5x_a - 6y_a \\ y_b & 6 + 6x_a + 5y_a \\ \end{array} \right.$

C = s(C) $\Longleftrightarrow \: 3 - 2\text{i} = (x_a + y_a\text{i})(\bar{3-2\text{i}}) + x_b + y_b\text{i} \: \Longleftrightarrow \: 3 - 2\text{i} = (x_a + y_a\text{i})(3 + 2\text{i}) + x_b + y_b\text{i}$
$\Longleftrightarrow \: 3 - 2\text{i} = 3x_a + 3y_a\text{i} + 2x_a\text{i} - 2y_a + x_b + y_b\text{i} \: \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 3x_a-2y_a+x_b & 3 \\ 2x_a+3y_a+y_b&-2 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} 3x_a - 2y_a - 5 + 5x_a - 6y_a = 3 \\ 2x_a + 3y_a + 6 + 6x_a + 5y_a = -2 \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 8x_a - 8y_a & 8\\ 8x_a + 8y_a & -8 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_a - y_a & 1 \\ x_a + y_ a & -1 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \: \left \lbrace \begin{array}{l} x_a = 0 \\ y_a = -1 \\ \end{array} \right.$
et donc $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x_b & -5+6=1 \\ y_b & 6 - 5 = 1 \\ \end{array} \right.$
donc a = -i et b = 1 + i
L'écriture complexe de s est donc $z' = -\text{i} \bar{z} + 1 + \text{i}$ , de la forme $z' = a\bar{z} + b$ avec |a| = 1. Il s'agit donc d'une symétrie axiale ou une symétrie glissée.
Comme A et C sont invariants, il s'agit de la symétrie d'axe (AC).

2. b) E est le symétrique de H par rapport à (AC), donc E = s(H) et $z_E = -\text{i}\bar{z_H} + 1 + \text{i}$
donc $z_E = -\text{i}(\bar{-5}) + 1 + \text{i} = 5\text{i} + 1 + \text{i} = 1 + 6\text{i}$
L'affixe de E est 1 + 6i.

2. c) E $\in \Gamma \: \Longleftrightarrow \:$ FE = FA $\Longleftrightarrow$ FE² = FA²
$z_{\overrightarrow{\text{FA}}} = z_{\text{A}} - z_{\text{F}} = -5 + 6\text{i} + 2 - \text{i} = -3 + 5\text{i}$ donc FA² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34
Donc FE² = 3² + 5² = 34 = FA²
Donc E est un point de $\Gamma$ .

3. I milieu de [AC] donc $z_{\text{I}} = \dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{C}}}{2} = \dfrac{-5 + 6\text{i} + 3 - 2\text{i}}{2} = \dfrac{-2 + 4\text{i}}{2} = -1 + 2\text{i}$
h homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{2}{3}$ et G = h(I) donc $z_{\text{G}} - z_{\text{B}} = \dfrac{2}{3}(z_{\text{I}} - z_{\text{B}})$
$z_{\text{G}} = z_{\text{B}} + \dfrac{2}{3}(z_{\text{I}} - z_{\text{B}}) = -7 - 2\text{i} + \dfrac{2}{3}(-1 + 2\text{i} + 7 + 2\text{i}) = -7 - 2\text{i} + \dfrac{2}{3}(6 + 4\text{i}) = -7 - 2\text{i} + 4 + \dfrac{8}{3}\text{i} = -3 + \dfrac{2}{3}\text{i}$
L'affixe de G est $-3 + \dfrac{2}{3}\text{i}$ .
F, G, H alignés $\Longleftrightarrow \overrightarrow{\text{FG}}$ et $\overrightarrow{\text{FH}}$ colinéaires
$Z_{\overrightarrow{\text{FG}}} = z_{\text{G}} - z_{\text{F}} = -3 + \dfrac{2}{3}\text{i} - (-2 + \text{i}) = -1 - \dfrac{1}{3}\text{i} \\ Z_{\overrightarrow{\text{FH}}} = z_{\text{H}} - z_{\text{F}} = -5 - (-2 + \text{i}) = -3 - \text{i} = 3\left(-1 - \dfrac{1}{3}\text{i}\right) = 3z_{\overrightarrow{\text{FG}}}$
Donc F, G, H sont alignés.
Ci-dessous, la figure complétée au fil de l'exercice :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, métropole 2007 - terminale : image 4

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Il s'agit d'une expérience de Bernoulli de paramètres p = 0,2, renouvelée n = 5 fois de manière indépendante. La variable aléatoire X = nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,2.
Donc P(X = 2) = $\left(\begin{array}{l}5&2\end{array}\right) 0,22 \times 0,83 = \dfrac{5!}{2!3!}0,04 \times 0,512 = \dfrac{5 \times 4}{2}0,02048 = 0,2048$ .
La bonne réponse est donc la réponse d.

2. Soient les évènements P = "avoir eu son permis du 1er coup", G = "être un garçon" et F = "être une fille".
L'énoncé donne : $P(\text{G}) = \dfrac{1}{4}$ donc $P(\text{F}) = \dfrac{3}{4}$ ; et $P_{\text{F}}(\text{P}) = \dfrac{1}{3}$ et $P_{\text{G}}(\text{P}) = \dfrac{1}{10}$ .
On utilise la formule des probabilités totales :
$P(\text{P}) = P(\text{G})P_{\text{G}}(\text{P}) + P(\text{F})P_{\text{F}}(\text{P}) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{10} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{40} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{40} = 0,275$ .
La bonne réponse est donc la réponse b.

3. Il s'agit de calculer la probabilité de P sachant G. On utilise la formule de probabilité conditionnelle :
$P_{\text{P}}(\text{G}) = \dfrac{P(\text{G} \cap \text{P})}{P(\text{P})} = \dfrac{P_{\text{G}}(\text{P}) \times P(\text{G})}{P(\text{P})} = \dfrac{\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{4}}{\dfrac{11}{40}} = \dfrac{1}{40} = \dfrac{1}{11} = 0,091$
La bonne réponse est donc la réponse b.

4. La probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée est égale au quotient de l'aire de la dernière zone et l'aire totale de la cible, avec :
aire de la dernière zone = $\pi$ × 30² - $\pi$ × 20² = 500 $\pi$
aire de la cible = $\pi$ × 30² = 900 $\pi$
donc P(dernière zone) = $\dfrac{500\pi}{900\pi} = \dfrac{5}{9}$
La bonne réponse est donc la réponse a.

exercice 5 - Commun à tous les candidats

Partie A : Etude de certaines propriétés de la courbe $\mathcal{C}$

1. Pour la partie rationnelle, on utilise la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'.v-u.v'}{v^2}$ , avec :
$u(x) = \ln(1+x)$ donc $u'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ et $v(x) = 1+x$ donc $v'(x) = 1$ .
$f'(x) = 1 - \dfrac{\dfrac{1}{1+x} \times (1+x) - \ln(1+x)}{(1+x)^2} = \dfrac{(1+x)^2 - 1 + \ln(1+x)}{(1+x)^2} = \dfrac{x^2 + 2x+ \ln(1+x)}{(1+x)^2}$

2. N est une fonction dérivable sur ]-1 ; + $\infty$ [ et $N'(x) = 2(1+x) + \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{2(1+x)^2 + 1}{1+x}$
Sur ]-1 ; + $\infty$ [, on a : $x > -1$ donc $1 + x > 0$
et $(1 + x)^2 > 0$ donc $2(1 + x)^2 > 0$ donc $2(1 + x)^2 + 1 > 1 > 0$ .
Donc $N'(x) > 0$ sur ]-1 ; + $\infty$ [ donc N est strictement croissante sur ]-1 ; + $\infty$ [.
N(0) = 1² - 1 + ln(1) = 0 d'où les variations et le signe de N :
$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & -1 & & & 0 & & +\infty \\ \hline N(x) & & \nearrow & & 0 & & \nearrow\\ \hline N(x) & & - & & 0 & & + \\ \hline \end{array}$
Or $f'(x) = \dfrac{N(x)}{(1+x)^2}$ donc $f'$ est du signe de N. On en déduit les variations de $f$ :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&1&&0&&+\infty \\ \hline f'(x)& &-&0&+& \\ \hline f(x)&&\searrow&_{f(0)=0}&\nearrow&\\ \hline \end{array}$

3. Il s'agit de résoudre le système: $\left \lbrace \begin{array}{l} y=f(x)\\ y=x \end{array} \right.$
$x = f(x) \: \Longleftrightarrow \: x = x - \dfrac{\ln(1+x)}{1+x} \: \Longleftrightarrow \: 0 = -\dfrac{\ln(1+x)}{1+x} \\ \Longleftrightarrow \: \ln(1 + x) = 0 \: \Longleftrightarrow \: 1 + x = 1 \: \Longleftrightarrow \: x = 0$
et $f(0) = 0$
Donc la courbe $\scr{C}$ et la droite $D$ se coupent au point O.

Partie B : Etude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction $f$

1. On a démontré en A. 2. que la fonction $f$ est croissante sur [0 ; + $\infty$ [ donc
$0 < x < 4 \Rightarrow f(0)< x < f(4)$ avec $f(0) = 0$ et $f(4) = 4-\frac{\ln(5)}{5} < 4$ donc $0 < f(x) < 4$

2. a)

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, métropole 2007 - terminale : image 5

2. b) Raisonnement par récurrence : on va montrer la propriété P(n) : $u_n \in$ [0 ; 4]
- 1^ère étape : pour n = 0, u₀ = 4 $\in$ [0 ; 4]. La propriété est vraie au rang 0.
- 2^e étape : on suppose la propriété vraie pour n et on veut montrer qu'elle est vraie pour n + 1.
On suppose que u_n $\in$ [0 ; 4].
$u_{n+1} = f(u_n)$ avec u_n $\in$ [0 ; 4]. Alors, d'après les résultats de la question B. 1, $f(u_n) \in$ [0 ; 4].
Donc u_n+1 $\in$ [0 ; 4]. La propriété est vraie au rang n + 1. La propriété est héréditaire.
- 3^e étape : conclusion. P(0) vraie et P(n) vraie $\Rightarrow$ P(n+1) vraie. Donc P(n) est vraie pour tout n.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , u_n $\in$ [0 ; 4].

2. c)

Pour étudier la monotonie d'une suite (u_n), on détermine le signe de u_n+1 - u_n.

$u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n = u_n - \dfrac{\ln(1 + u_n)}{1 + u_n} - u_n = -\dfrac{\ln(1 + u_n)}{1 + u_n}$
Or $u_n > 0$ donc $1 + u_n > 1$ et $\ln(1 + u_n) > \ln(1) = 0$
et $u_n > 0$ donc $1 + u_n > 0$
Donc $u_{n+1} - u_n = -\dfrac{\ln(1 + u_n)}{1 + u_n} < 0$
$u_{n+1} < u_n$
La suite (u_n) est strictement décroissante.

2. d) La suite (u_n) est strictement décroissante et minorée, elle est donc convergente.

2. e) La fonction $f$ étant continue, la limite de la suite (u_n) vérifie $\ell = f(\ell)$
Cette équation a été résolue en A. 3 : $\ell = 0$ .
La suite (u_n) tend vers 0.

Publié par Cel/Aurélien le 03-06-2008

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