L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Scientifique
Métropole - La Réunion
Session Septembre 2007

L'utilisation de la calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures

 Exercice 1 - Commun à tous les candidats (5 points)

Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes.

1. Restitution organisée de connaissances
La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue.
On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier.
Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
    P : Soit la fonction définie sur par ; alors est dérivable sur , de dérivée donnée sur par : .
    Q : Soit u une fonction dérivable sur et soit la fonction définie sur par ; alors est dérivable sur , de dérivée donnée par .

2. On désigne par g la fonction définie sur ] -1 ; 1[ par g(0) = 0 et où désigne la dérivée de la fonction g sur ]-1 ; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciter .
On considère alors la fonction composée h définie sur par .
      a) Démontrer que pour tout de on a , où désigne la dérivée de h.
      b) Calculer puis donner l'expression de .

 Exercice 2 - Commun à tous les candidats (6 points)

1. La suite u est définie par : pour tout entier naturel n.
      a) On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan ci-dessous, la droite d'équation et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.
      b) Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est .
      c) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : .
      d) Etudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

2.   a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :

c'est-à-dire que
      b) La suite v est définie par avec n décimales consécutives égales à 7.
Ainsi v₀ = 1,2,   v₁ = 1,27   et   v₂ = 1,277.
En utilisant le a démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c'est-à-dire le quotient de deux entiers).

3. La suite u définie au 1. et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

 Exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

Soit les nombres complexes : .
      a) Ecrire sous forme algébrique.
      b) Donner les modules et arguments de .
      c) En déduire .
      d) Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives . Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
      e) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe .

 Exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité (5 points)

1. On considère l'ensemble A₇ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
      a) Pour tout élément a de A₇, écrire dans le tableau figurant à la fin de l'exercice l'unique élément y de A₇ tel que ay 1 (modulo 7).
      b) Pour entier relatif, démontrer que l'équation (modulo 7) équivaut à (modulo 7).
      c) Si a est un élément de A₇, montrer que les seuls entiers relatifs solutions de l'équation (modulo 7) sont les multiples de 7.

2. Dans toute cette question, p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble A_p = {l ; 2 ; ... ; p - 1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de A_p.
      a) Vérifier que a^{p - 2} est une solution de l'équation (modulo p).
      b) On note r le reste dans la division euclidienne de a^{p - 2} par p. Démontrer que r est l'unique solution dans A_p, de l'équation (modulo p).
      c) Soient et y deux entiers relatifs. Démontrer que (modulo p) si et seulement si est un multiple de p où y est un multiple de p.
      d) Application : p = 31. Résoudre dans A₃₁ les équations : (modulo 31) et (modulo 31). A l'aide des résultats précédents, résoudre dans l'équation (modulo 31).

a	1	2	3	4	5	6
y						6

 Exercice 4 - Commun à tous les candidats (4 points)

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur :
    (E) :
   (E₀) : .

1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E₀).

2. Soient et g deux fonctions dérivables sur et telles que .
Démontrer que la fonction est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E₀).

3. Déterminer la solution de (E) telle que .

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