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Fiche de mathématiques

   
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Bac Technologique - Sciences et Technologies de la Gestion
Mercatique - Comptabilité et finance d'entreprise - Gestion des systèmes d'information
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2007

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures         Coefficient : 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
3 points

exercice 1

On a relevé l'évolution annuelle du cours du baril de pétrole entre 2001 et 2006.
Année200120022003200420052006
Taux d'évolution*- 20,07 %+ 33,79 %-15,70 %+ 37,65 %+ 52,94 %
(source INSEE)
Exemple : Entre 2001 et 2002, le prix du baril de pétrole a baissé de 20,07 %.
Les taux seront arrondis à 0,01 % près, les prix à 0,01 € près.

1. Montrer que le taux d'évolution du prix du baril de pétrole entre 2001 et 2006 (c'est-à-dire le taux d'évolution global) est de 89,78 %.

2. En 2006 le prix du baril de pétrole s'élevait à 52 €. Quel était son montant en 2001 ?

3. a) Déterminer le taux d'évolution annuel moyen du prix du baril de pétrole entre 2001 et 2006.
    b) En utilisant ce dernier résultat donner une estimation du prix du baril de pétrole en 2007.


4 points

exercice 2

Une entreprise possède trois usines de fabrication d'alarmes : la première située à Bordeaux, la deuxième à Grenoble et la troisième à Lille.
Un contrôleur qualité s'intéresse au nombre d'alarmes (défectueuses ou non), produites en ce mois de septembre 2007 dans chacune des trois usines.
Il a relevé les données suivantes :
 DéfectueusesEn bon étatTotal
Usine de Bordeaux160 3 360
Usine de Grenoble  1 266
Usine de Lille154  
Total3807 900 

1. Compléter le tableau sur l'annexe fournie.
 DéfectueusesEn bon étatTotal
Usine de Bordeaux160 3 360
Usine de Grenoble  1 266
Usine de Lille154  
Total3807 900 

2. Dans toute cette question, les résultats seront arrondis à 10-3 près.
On prend une alarme au hasard dans la production de ce mois de septembre.
On note :
B l'évènement : «l'alarme provient de l'usine de Bordeaux» ;
G l'évènement : «l'alarme provient de l'usine de Grenoble» ;
L l'évènement : «l'alarme provient de l'usine de Lille» ;
D l'évènement : «l'alarme est défectueuse».
    a) Calculer la probabilité de l'évènement B notée p(B).
    b) Calculer la probabilité de évènement D notée p(D).
    c) Définir par une phrase l'évènement B \cap D , puis calculer p(\text{B} \cap \text{D}),
    d) Calculer p(\text{B} \cup \text{D}).
    e) Calculer p_{\text{B}}(\text{D}), la probabilité de D sachant B.
Quelle usine semble la plus efficace en terme de qualité de production ?


6 points

exercice 3

Partie A

Courbe de f_{1} : sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 1       Courbe de f_{2} : sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 2

Courbe de f_{3} : sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 3       Courbe de f_{4} : sujet du bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 4

Les courbes ci-dessus représentent quatre fonctions f_{1}, f_{2}, f_{3} et f_{4} définies et dérivables sur [-2 ; 1].

1. On donne ci-dessous les tableaux de signes de ces fonctions.
Tableau a : \begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & 1 \\ \hline \text{signe de la fonction} & & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}       Tableau b : \begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & 1 \\ \hline \text{signe de la fonction} & & + & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}

Tableau c : \begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & 1 \\ \hline \text{signe de la fonction} & & - & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}       Tableau d : \begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & 1 \\ \hline \text{signe de la fonction} & & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}


Compléter, sur l'annexe fournie, le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :
Fonctionf_{1}f_{2}f_{3}f_{4}
Tableau de signes    

2. On donne ci-dessous les tableaux de variations de ces fonctions.
Tableau a : \begin{tabvar}{|c|CCCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{2} & & 1 & \\ \hline \text{Variations} & & \croit & & \decroit & & \croit & & \\ \hline \end{tabvar}       Tableau b : \begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & \frac{1}{2} & & 1 \\ \hline \text{Variations} & & \decroit & & \croit & \\ \hline \end{tabvar}

Tableau c : \begin{tabvar}{|c|CCCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{3} & & 1 & \\ \hline \text{Variations} & & \decroit & & \croit & & \decroit & & \\ \hline \end{tabvar}       Tableau d : \begin{tabvar}{|c|CCCCC|} \hline x & -2 & & \frac{1}{3} & & 1 \\ \hline \text{Variations} & & \croit & & \decroit & \\ \hline \end{tabvar}


Compléter, sur l'annexe fournie, le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :
Fonctionf_{1}f_{2}f_{3}f_{4}
Tableau de variations    

3. On donne ci-dessous les tableaux de signes des dérivées de ces fonctions.
Tableau a : \begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{3} & & 1 \\ \hline \text{Signe de la dérivée} & & + & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}       Tableau b : \begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{2} & & 1 \\ \hline \text{Signe de la dérivée} & & - & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}

Tableau c : \begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{3} & & 1 \\ \hline \text{Signe de la dérivée} & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}       Tableau d : \begin{tabvar}{|c|CCCCCCC|} \hline x & -2 & & -1 & & \frac{1}{2} & & 1 \\ \hline \text{Signe de la dérivée} & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}


Compléter, sur l'annexe fournie, le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :
Fonctionf_{1}f_{2}f_{3}f_{4}
Tableau des signes des dérivées    


Partie B

Dans cette partie, on considère la fonction g, définie sur [-2 ; 1] par :
g(x) = (1 - x) \times (x + 1)^2.

1. Vérifier que g(x) = -x^3 - x^2 + x + 1.

2. Déterminer la dérivée g' de g.
Vérifier que g'(x) = (x + 1)(1 - 3x).

3. Étudier le signe de g' sur [-2 ; 1].
En déduire le tableau de variations de g.

4. En fait la fonction g est l'une des quatre fonctions f_{1}, f_{2}, f_{3} ou f_{4} de la partie A.
Quelle est cette fonction ? Justifier votre réponse.


7 points

exercice 4

Un entrepreneur achète à crédit le 01/01/2003 une machine coûtant 500 000 €. Il rembourse son prêt en 10 annuités en versant le 1er janvier de chaque année (à partir du 01/01/12004), la somme de 64 752,29 € qui se décompose en deux parties :
   * Les intérêts 5 % sur ce capital restant dû l'année précédente ;
   * L'amortissement du prêt (le capital remboursé).
Voici le détail de ces premiers versements donné à l'aide d'un tableur :
 ABCDE
1DatesAnnuitéIntérêtsAmortissementCapital restant dû
201/01/2003   500 000,00
301/01/200464 752,2925 000,0039 752,2946 0247,71
401/01/200564 752,2923 012,3941 739,9041 8507,81
501/01/200664 752,2920 925,3943 826,9037 4680,91
6     

Ainsi, les intérêts payés le 01/01/2004 représentent les 5 % du capital restant dû au 01/01/2003. La somme amortie en 2003 étant la différence entre le montant de l'annuité et les intérêts payés en 2003.
Toutes les sommes seront données avec deux décimales.

1. Vérifier que les sommes indiquées en C3 et D3 sont correctes. Faire de même avec les sommes indiquées en C4 et D4. Compléter alors la ligne 6 de ce tableau fournie en annexe.

2. Dans la cellule D3 a été entrée la formule : =B3-C3 qui, par copier-glisser a permis de compléter la colonne D.
    a) Donner, de la même façon, la formule entrée en C3. Que devient cette formule si on la recopie en C4 ?
    b) Donner la formule entrée en E3 qui, par «copier-glisser» a permis de compléter la colonne E.

3. On définit les suites \left(i_{n}\right), \left(a_{n}\right) et \left(c_{n}\right) pour n \ge 1 par :
DatesAnnuitéIntérêtsAmortissementCapital restant dû
01/01/(2003+n)64 752,29i_{n}a_{n}c_{n}

Par exemple, i_{1} = 25 000 représente les intérêts au 01/01/2004.
Donner les valeurs de i_{2}, i_{3}, i_{4}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, c_{1}, c_{2}, c_{3} et c_{4}.

4. Sachant qu'une de ces trois suites et une seule est géométrique, déterminer laquelle en précisant votre méthode. Quelle est la raison de cette suite ? (On arrondira les calculs à 10-2 près)

5. Déterminer, sans calcul et en justifiant, la somme a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10}.

6. À l'aide de la question 4, justifier l'égalité suivante :
a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10} = 795045,80 \times \left(1,05^{10} - 1\right).
Comparer le résultat avec celui de la question 5. Commenter.

7. Par la méthode de votre choix, déterminer le montant total des intérêts payés par l'entrepreneur.



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