L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Electronique - Génie Electrotechnique - Génie Optique
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.

 Exercice 1 (5 points)

1. Déterminer 3 réels a, b et c tels que pour tout nombre complexe on ait : .
En déduire la résolution dans de l'équation .

2. Dans le plan muni d'un repère orthonormal (0 ; ; ) (unité 2 cm), on considère les points d'affixe , B d'affixe et C d'affixe .
    a) Placer les points A, B et C.
    b) Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.

3. On considère la rotation R de centre O et d'angle et on appelle A', B' et C' les images respectives de A, B et C par R.
    a) Déterminer les formes exponentielles de , , puis de , , .
    b) Placer A', B' et C' sur la figure précédente.
    c) Vérifier que , , sont solutions de l'équation .

 Exercice 2 (4 points)

Partie A

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise A s'élevait à 230 000 euros.
Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 15 000 euros.

1. Calculer le chiffre d'affaires en 1991.

2. Soit le chiffre d'affaires de l'année 1990 + . Quelle est la nature de la suite ? Préciser le premier terme et la raison de cette suite.

3. Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise A.

Partie B

En 1990, le chiffre d'affaires d'une entreprise B s'élevait à 150 000 euros. Chaque année, ce chiffre d'affaires a augmenté de 7,4 %.

1. Calculer le chiffre d'affaires en 1991.

2. Soit le chiffre d'affaires de l'année 1990 + .
Justifier que est une suite géométrique de raison 1,074.

3. Calculer le chiffre d'affaires en 2006 de l'entreprise B.

Partie C

1. Que constate-t-on en 2006 pour les entreprises A et B ?

2. En 2006, le chef de l'entreprise B affirme qu'à ce rythme son entreprise aura dans 15 ans, un chiffre d'affaires pratiquement double de celui de l'entreprise A. A-t-il raison ? Justifier.

 Problème (11 points)

Partie A

Soit la fonction définie sur ]0 ; +[ par .

1. Déterminer les limites de en 0 et +.

2. Soit la dérivée de . Montrer que

3. Dresser le tableau de variation de sur ]0 ; +[ .

4. Calculer et en déduire le signe de sur ]0 ; +[ .

Partie B

Soit la fonction définie sur ]0 ; +[ par .
On appelle la courbe de dans un repère orthonormal (0 ; ; ) (unité 3 cm).

1. a) Déterminer la limite de en +
   b) Déterminer la limite de en 0, on remarquera que .
Que peut-on en déduire ?

2. a) Montrer que pour tout strictement positif .
   b) En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de sur l'intervalle ]0 ; +[ .
   c) Dresser le tableau de variations de sur l'intervalle ]0 ; +[ .

3. On rappelle que celle tout de l'intervalle ]0 ; +[, .
Donner les solutions dans l'intervalle ]0 ; +[ de l'équation .

4. Tracer et la droite d'équation .

5. Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.

Partie C

1. Montrer que la fonction définie sur intervalle ]0 ; +[ par est une primitive de sur l'intervalle ]0 ; +[ .

2. On considère dans le plan le domaine délimité l'a la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
    a) Hachurer le domaine .
    b) Calculer l'aire du domaine en unités d'aires puis en cm². On donnera la valeur exacte puis la valeur approche arrondie au mm² près.

voir la correction

cours particuliers