L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

L'île des Mathématiques

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (Option A : Productique Mécanique, Option F : Microtechniques)
Génie Energétique
Génie Civil
Polynésie Française - Session 2007

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.

 Exercice 1 (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0 ; ; ). L'unité graphique est 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d argument .

1. Pour tout nombre complexe , on pose : .
   a) Calculer .
   b) Déterminer une factorisation de sous la forme : où et sont deux nombres réels que l'on déterminera.
   c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : .

2. On note A, B et C les points d'affixes respectives : , et .
   a) Placer les points A, B et C dans le repère (0 ; ; ).
Démontrer que A, B, C sont sur un même cercle de centre O, dont on donnera le rayon.
   b) Déterminer un argument du nombre complexe puis un argument du nombre complexe .
En déduire une mesure en radian de l'angle .
   c) Déterminer alors une mesure en radian de l'angle .
   d) Démontrer qu'une mesure de l'angle est .
   e) En déduire l'égalité : .

 Exercice 2 (4 points)

Pour former une pièce métallique à partir d'un profilé de 2 centimètres d'épaisseur, on utilise un marteau pilon.
Le marteau pilon frappe toutes les 6 secondes, et à chaque coup, l'épaisseur de métal diminue de 2 %.
On note ( entier naturel) l'épaisseur en millimètres de la pièce après frappes de marteau pilon.
On a donc .

1. Calculer , et . On donnera les résultats arrondis au centième de millimètre.

2. Démontrer que la suite est géométrique, et préciser sa raison.

3. Déterminer en fonction de l'entier .

4. Quelle est l'épaisseur, arrondie au centième de millimètre, de la pièce après 10 frappes ?

5. On considère que la pièce est terminée dès que son épaisseur est inférieure à 14 millimètres.
Quel est le temps minimal pour que la pièce soit terminée ?

 Problème (11 points)

Le plan est rapporté au repère orthonormal (0 ; ; ). (L'unité graphique est 2 cm).
Le but du problème est l'étude de la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par : , puis de calculer une aire.

I. Etude d'une fonction auxiliaire g

On note g la fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par : .

1. Calculer la fonction dérivée de la fonction .

2. Déterminer le sens de variation de la fonction . (On ne demande pas les limites en 0 et en +.)

3. Résolution de l'équation .
   a) Démonter que sur l'intervalle [ 1 ; 2 ] l'équation possède une solution unique .
   b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de ce nombre

4) Déduire de ce qui précède le signe de suivant les valeurs de , dans l'intervalle ] 0 ; + [ .

II. Etude de la fonction f

1. Déterminer la limite de en 0. Qu'en déduit-on pour la courbe ?

2. Etude en +.
   a) Déterminer la limite de en .
   b) Démontrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe .
   c) Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbe et à la droite .
   d) Etudier la position de la courbe par rapport à la droite .

3. Etude des variations de .
   a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction . Vérifier que pour tout réel appartenant à l'intervalle ] 0 ; + [ : où est la fonction étudiée dans la partie I.
   b) En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonction .

4. On note la tangente à la courbe au point d'abscisse e² . Montrer que est parallèle à l'asymptote .

5) Dans le repère (0 ; ; ), tracer la droite , la tangente et la courbe à l'aide de l'étude précédente. (On prendra .)

III. Calcul d'une aire

On définit sur l'intervalle ] 0 ; + [ la fonction par : .

1. Démontrer que est une primitive de la fonction sur l'intervalle ] 0 ; + [.

2. Soit la région du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
   a) Hachurer la région sur votre figure.
   b) On note l'aire, exprimée en unité d'aire, de la région . Déterminer la valeur exacte de .
   c) Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm².

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