Enoncé incomplet : x , y et z dans quel(s) ensemble(s) ?

Si x, y et z sont dans R, alors :

a)
Solution triviale : x = y = z = 0

b)
x²+y²+z² = (xy)²
x²+y²+z² = x²y²
x²-x²y²+y²+z² = 0
x²(1-y²) = -(y²+z²)
x²(y²-1) = y²+z²

Ce qui impose (si on n'est pas dans le cas du point a) que y²-1 >= 0, soit que |y| > 1

on a alors: x² = (y²+z²)/(y²-1)

x = +/- racine carrée[(y²+z²)/(y²-1)]

Il y a une infinités de solutions (en plus de x=y=z=0)

On choisit y quelconque mais en respectant |y| > 1, on peut alors choisir z quelconque et calculer les valeurs de x correspondantes par x = +/- racine carrée[(y²+z²)/(y²-1)]
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Exemple numérique:

parmi une infinité de possibilités :

On choisit y = -1,2 (donc on a bien |y| > 1)
On choisit un z quelconque, par exemple z = 4,5
et on calcule:
x = +/- racine carrée[(y²+z²)/(y²-1)]
x = +/- racine carrée[(1,2²+4,5²)/(1,2²-1)]
x = +/- racinecarrée[21,69/0,44]
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Sauf distraction.  

belle réponse rapide merci mais j'avais oublié de préciser l'info importante : c'est dans Z qu'il faut résoudre...

Bonjour,

On peut montrer que les 3 entiers sont nécessairement pairs. (essaie).

Alors, il existe entiers tels que et .

L' équation devient .

On peut recommencer le procédé et construire ainsi une suite infinie de triplets d' entiers pairs (décroissantes en valeur absolue). Ce qui est impossible sauf si

Une erreur: l' équation devient

Bonjour,
Si je ne m'abuse le fait que x,y,z soient pairs amène à l'équation suivante :

En fait cela ne change pas la conclusion, une petite descente infinie semble fonctionner ici

(sauf erreur)

Très juste! mais ça ne change rien pour la suite: sont nécessairement pairs...

comment ca ils sont nécessairement pairs ?

Si est impair, et pairs:

est de la forme et est de la forme

Si et sont impairs et pair:

est pair et est impair.

Si sont impairs:

est de la forme et est de la forme

Pas juste.

Par exemple:

Si x, y et z sont impairs, alors :
x² + y² + z² est impair et x²y² est impair aussi.

Sauf distraction.  

Si on étudie les membres de l'équation modulo 4, en utilisant le fait qu'un carré est toujours congru à 0 ou 1, on arrive à montrer qu'ils sont forcément tous pairs non ?