Bonjour. Pour faire encore mieux, il aurait peut-être été utile d'envoyer le corrigé , non ?...
    Car, comme cela, je ne vois pas ce que cela peut apporter ...

bonjour Asquimo
1)les triangles SBH et CSH sont semblables parce qu'ils ont deux angles égaux : les angles SAH et HSC sont tous deux complémentaires à l'angle SCB et les angles ASH et SCH sont tous deux complémentaires à l'angle SBC

2a)HE/HC = HP/HS = HB/HS = HS/HC; donc HS = HE
les triangles HSB et HEP sont égaux car ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun :
HS = HE; les angles SHB et EHP sont droits; les angles HSB et HEP sont égaux à l'angle HCS
2b) HS = HE -> le triangle SHE est rectangle isocèle en H
3a) soit F le point de rencontre de (SB) et de (PE)
les triangles BSH et BEF ont les angles égaux chacun à chacun :
l'angle B est commun; les angles HSB et HEF sont égaux de par l'égalité des triangles HSB et HEP; les troisièmes angles et SHB et EFB sont donc égaux et droits
P est le point de concours des hauteurs (orthocentre) du triangle SBE
3b) donc (BI) est perpendiculaire à (SE)

4a)les angles HSB et BEP sont égaux car ils ont le même angle complémentaire SBC
les angles HSE et PBE sont égaux car ils on le même angle complémentaire SEH (le triangle BIE est rectangle)
donc angle HSB + angle HSE = angle BSE = angle BEP + angle PBE = 180° - angle BPE (dans le triangle BPE)
angle BSE = 180° - angle BPE; angle BSE + angle BPE = 180°
4b) les triangles BEP et BEP' sont égaux parce qu'ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun :
[BE] est commun; BP = BP' et EP = EP' car (BE) est la médiatrice de PP'
donc angle EP'B = angle EPB et angle BSE + angle BP'E = 180° : le quadrilatère SBP'E est inscriptible (deux angles opposés supplémentaires)

avec ça, les élèves auront mérité leur brevet

recommandation : quand on cite deux triangles égaux ou semblables, il est préférable que les premiers sommets cités soient sur des angles égaux chacun à chacun; idem pour les deuxièmes et les troisièmes sommets