Bonjour.

Remarque que : poq = qop = O et que p^k = p et que q^k = q

Donc, en appliquant la formule du binôme :

Ah d'accord! dans ce cas, on peut effectivement étendre la propriété aux puissances négatives puisque la puissance est sur 6 et sur 2 !

Merci !

et pour la question avec 2010 en puissance je ne vois pas trop comment faire à part si on trouve la matrice puissance 2010 de u et dans ce cas on pourra lire directement u²⁰¹⁰(e₁) ...

Merci beaucoup j'essaye d'avancer mais sans résultats...

et au fait je ne trouve pas p^k = p

je crois que j'ai une erreur de signe. Je vérifie

D'abord, u² - 8u + 12e = 0 signifie que u est inversible.

En effet, cela s'écrit :



Maintenant effectue le calcul :



Pour la suite :



Il te reste donc à chercher p(e₁) et q(e₁)

p² = p
p³ = p² = p

On n'a pas vu ceque signifiait "u est inversible" :s pouvez vous m'expliquer?

Merci beaucoup de votre aide, je continue les calculs en parallele.

inversible signifie avoir une fonction réciproque : u^-1, de telle sorte que uou^-1 = u^-1ou = e (Identité)

Ici,

Mais comment avez vous trouvé u^-1 ?
par quel calcul?

et une petite précision svp, cette information :
poq = qop = O
nous permet de dire que 6ⁿpⁿ o 2ⁿqⁿ équivaut en fait à:
6ⁿp+2ⁿq  ?

Merci encore

Je t'ai donné le calcul de l'inverse de u : 07-03-10 à 16:20

Tu sais calculer (A+B)ⁿ ?

Puisque poq = qop = O, cela signifie :

1°) que l'on peut appliquer la formule du binôme car p et q commutent

2°) tous les termes de cette formule contenant des produits du type poq ou qop seront nuls

(A+B)n = (k parmi n) AⁿB^n-k c'est bien ça?

Alors pour (6ⁿp +2ⁿq) o (6^-np+2^-nq) je trouve = (p+q)²

c'est bien ça? mais à quoi cela nous sert-il? c'est égal à :
uⁿ o u^-n

Tu trouve donc (Id)² = Id

Ceci prouve tout simplement que

Donc, pour tout entier relatif n :

Si A et B commutent (AB = BA), on a :



Ici, comme p et q commutent :



Mais poq = qop = 0 : tous les termes contenant un produit pq disparaîssent.

Il ne reste que les deux termes extrêmes :



Mais pⁿ = p et qⁿ = q, donc, finalement :



Tu arrives à comprendre ?

Ahh oui c'est donc CET argument la qui montre que l'on peut utiliser la propriété aux puisances négatives!
Merci beaucoup en plus j'ai compris!

Pour p(e₁) et q(e₁) peut -on se servir de la Matrice?
en fait on a la matrice de u mais u=6p+2q donc en fait u(e₁)=6p(e₁)+2q(e₁)

on obtient un système :
18 = 6p(e₁) +2q(e₁)
12 = 6p(e₁) +2q(e₁)

Mais en divisant chaque égalité par 2 on se retrouve avec :
3p(e₁) + q(e₁) = 9
3p(e₁) + q(e₁)= 6

Est-ce possible?

Oh oui pour p et q qui commutent j'ai bien compris maintenant merci beaucoup!!

Sauf erreur de calcul :

u(e₁) = (18,12)

p(e₁) = (1/4)(u-2Id)(e₁) = (1/4)((18,12)-(2,0)) = (4,3)

q(e₁) = (-1/4)(u-6Id)(e₁) = (-1/4)((18,12)-(6,0)) = (-3,-3)

u²⁰¹⁰(e₁) = 6²⁰¹⁰p(e₁)+2²⁰¹⁰q(e₁) = 6²⁰¹⁰(4,3)+2²⁰¹⁰(-3,-3)

pourquoi remplacez vous l'identité par (2,0)?

Merci beaucoup !
pouvions nous y arriver grace au système? :s

Merci

Essaie de trouver certains passages tout(e) seul(e) :

2Id(e₁) = 2(e₁) = 2(1,0) = (2,0)

aah oui pardon ce sont les coordonnées de e₁ dans la base B.

D'accord je vous remercie beaucoup ! passez une bonne soirée.

Bonne soirée également