bonjour,j'ai du mal à résoudre l'exercice suivant:

Soit G un groupe fini,p le plus petit nombre premier divisant l'ordre de G.

Soit H un sous groupe tel que card(G)=p*card(H).Montrer que H est distingué dans G.

J'ai une petite idée mais je n'arrive pas à aboutir à la solution.

Voici l'idée:"G agit sur G/H,on peut donc considérer un morphisme de

G dans S_G/H.Soit P:GS_G/H,gP(g):G/HG/H
                                                       g'Hgg'H

le noyau de cette application est gHg^-1(calculer dans un topic précédent).

Donc il suffit de montrer que l'action est transitive,pour cela Orb_G/H(sH){gsH tel que gH).

Le cardianl de G/H est p qui est premier donc il existe f tel que fH engendre G/H.On prend g=fs^-1,g=f²s^-1,.....,g=f^ps^-1,

Et on voit que Orb_G/H(sH)=G/H,donc l'action est transitive, mais j'ai l'impression que ce raisonnement n'est pas juste,parce que quand je dit que G/H est engendré par une classe de la forme gH,je suppose que G/H est un groupe et cela n'est possible que si H est distingué,donc je pense que j'ai rien montré n'est ce pas ????

Par ailleurs j'ai un autre exercice ou je bloque : Le voici:Soit G un groupe,H et K des sous groupes,montrer que si les cardinaux G/H et G/K sont premier entre eux alors G=HK,j'ai envie de montrer que card G = card HK(=#H#K/#HK)