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addition de cosinus

Posté par
supernenette 19-09-09 à 16:39

bonjour, je suis en MPSI, et je bloque sur une question d'un dm de maths
on a x1=cos(3têta)+cos (5têta)+ cos(7têta)+cos(11têta) et, x2= cos(têta)+cos(9têta)+cos(13têta)+cos(15têta)

je dois calculer x1+x2, le résultat doit être mis sous forme d'un rationnnel simple, la forme me fait penser à une suite de cosinus, mais ca me paraît trop compliqué et surtout, j'ai pensé à la formule de developpement cos(ntêta) pour chacun des termes mais les calculs seraient trop long....

voyez vous quelque chose d'autre s'il vous plait
d'avance merci

Posté par
Drasseb... 19-09-09 à 17:42

Bonsoir,

As-tu pensé à voir cette somme de cosinus comme la partie réelle d'une somme d'exponentielles ?

Dès lors tu auras les premiers termes de la somme d'une série géométrique.

Posté par
esta-fettere : addition de cosinus 19-09-09 à 18:54

ou alors utiliser la formule d'Euler...

4$ cos x = \frac {e^{ix} + e^{-x}} 2

et on a la somme d'une progression géométrique....

le résultat ne doit pas être rationnel sauf si théta est particulier....

Posté par
Drasseb... 19-09-09 à 19:21

Nous avons fondamentalement la même idée, puisque la formule :

cos x = \frac{e^ix + e^-ix}{2}

que tu cites n'est bien sûr que le cas particulier de celle ci valable pour tout complexe z :

Re (z) = \frac{z + conjg(z)}{2}

Mais c'est vrai que ta mise en oeuvre est encore plus rapide, plutôt que de mettre Re en facteur...

Posté par
supernenetteaddition de cosinus 19-09-09 à 20:35

bonsoir et merci pour votre temps à tous les deux

j'avais en effet penser à la partie réelle mais pas à la formule d'euler, ni la deuxième, je vais essayer ca et je vous redis

merci beaucoup en tout cas

Posté par
supernenettere : addition de cosinus 20-09-09 à 14:43

bonjour désolé pour le retard mais je trvaillais sur une autre question un peu longue...

et en effet thêta est particulier, je viens de le voir et vaut [1]pi[/17]

en utilisant la formule d'euler, je ne vois pas après comment après simplifier toutes les exponentielles au numérateur

Posté par
perroquetre : addition de cosinus 20-09-09 à 15:32

Bonjour supernenette

3$ x_1+x_2= Re\left( e^{i\theta}+e^{3i\theta}+\ldots+\e^{15i\theta}\right)

Or:
3$ e^{i\theta}+e^{3i\theta}+\ldots+\e^{15i\theta}=e^{i\theta} \sum_{k=0}^7 e^{2ik\theta}= e^{i\theta} \frac{1-e^{16i\theta}}{1-e^{2i\theta}}=\frac{e^{i\theta}-e^{17i\theta}}{1-e^{2i\theta}}= \frac{e^{i\theta}+1}{1-e^{2i\theta}}=\frac{1}{1-e^{i\theta}

Bien.
J'ai donné assez d'indications.
On doit arriver à    x_1+x_2=\frac{1}{2}

Posté par
supernenettere : addition de cosinus 20-09-09 à 16:23

bonjour perroquet

pour kle début, j'ai fais pareil mais je n'avais pas pener à remettre ei dans le deuxième membre et du coup mes calculs avaient aboutis à 1/(2-2cos)

et après verif avec la calculette, j'ai vu que ce n'étais pas cohérent, merci beaucoup
je vais faire avec ta methode

au revoir et merci


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