Bonjour simon,

Je te propose de résoudre ça en deux étapes,

1) un hyperplan est soit fermé, soit dense.

2) Si Ker(f) est fermé, alors f est continue.
(indication : Si c'est l'espace X entier, alors f=0 est continue, sinon, soit eX tel que f(e)=1, et d=dist(Ker(f), e)0. Montrer que d x/||f(x)||, et en déduire que f est continue).

3) non continue => non fermé => dense.

Oups... il y avait trois étapes

ce n'est pas grave.merci
mais pour le cas où la forme lineaire n'est pas continue pourquoi H est dense dans E(je ne le vois pas très bien) parce qu'on aura adhr(H) un sev de E qui contient H

Si on montre 2), alors par sa contraposée, f non continue impliquera Ker(f) non fermé.

Maintenant, Ker(f) non fermé implique Adh(Ker(f))E, en particulier, il existe un vecteur v (Adh(Ker(f))-Ker(f)).

Mais alors la droite engendrée par v est un supplémentaire de Ker(f) dans E, il suffit donc de montrer que toute la droite est dans Adh(Ker(f)). Et c'est gagné!

alors là je comprends mieux.Merci encore une fois

De rien,
bonne journée!