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Adjoint d'un endomorphisme
Bonsoir amis des maths,
Je planche actuellement sur l'adjoint d'un endomorphisme et il semble y avoir une erreur concernant la matrice d'un endomorphisme pris en exemple, mais je n'arrive pas à déceler où...
En effet, à la fin de son exemple, la matrice de l'adjoint est la même que la matrice de l'endomorphisme de base, alors que l'on devrait arriver à sa transposée (je suis en cas réel).
Je vous donne l'exemple en question :
On est dans E espace vectoriel euclidien de dimension 2 rapporté à une base orthonormée. Soit u endomorphisme représenté par sa matrice
dans la base
.
On a donc (adjoint de u(i)) représenté par (
),
.
Si dans la base
,
.
Et comme u^*(i) représente la forme linéaire (??), alors
a pour composantes
dans la base
.
Le raisonnement est le même pour et il obtient comme matrice de
:
, c'est-à-dire la matrice u !
A quel endroit voyez-vous une erreur ?
Merci d'avance de votre réponse.
Merli
Tu dis (u*(i)adjoint de u(i) . Non . On n'a pas défini la notion "adjoint d'un vecteur" (mais adjoint d'un endomorphisme)
Pourquoi ne pas dire plus simplement :
On a : u*(i) = a.i + b.j donc a = <u*(i),i> = <i,u(i)> = 1 et b = <u*(i),j> = <i,u(j)> = 1
et u*(j) = u.i + v.j donc u = <u*(j),i> = <j,u(i)> = 2 et v = <u*(j),j> = <j,u(j)> = 0
donc la matrice de u* dans la base (i,j) est la transposée de la matrice de u dans cette même base .
Ces deux matrices n'étant pas égales on a u* 
u .
Le seul souci, c'est que i et j ne sont pas déterminés, on sait juste qu'ils sont orthogonaux, et de norme 1. Alors je ne comprends pas comment tu peux calculer un produit scalaire avec un vecteur indéterminé.
On connaît u(i), u(j) et u(y) avec y dans E.
Que signifie
On est dans E espace vectoriel euclidien de dimension 2 rapporté à une base B = (i,j) ???
Dans l'ordre des choses :
On se donne
1.E un 
-ev de dimension finie
2.<. , .> un ps sur E
Alors pour toute u 
L(E) l'ensemble des v L(E) vérifiant "
(x,y) E2 , < u(x), y> = <x , v(y)> est un singleton noté {u*}
De plus pour toute base B orthonormée (un théorème dit qu'il y en a) on a MatrB(u*) = tMatrB(u)
pour répondre à la question ou est l'erreur, je dirais que la phrase qui commence par "et comme..." est totalement farfelue. Je te donne une méthode pour déterminer l'adjoint hilbertien d'un endomorphisme : prenons X=(X1,X2) et Y=(Y1,Y2)
< u(X),Y > = (X1+X2)*Y1 + 2*X1*Y2 =X1*(Y1+2*Y2) + X2*Y1
or par définition de l'adjoint que je note v on a donc
< X,v(Y) > = X1*(Y1+2*Y2) + X2*Y1
donc v(Y) = (Y1+2*Y2) i + Y1 j donc la matrice de v a nécessairement pour première ligne (1,2) et pour deuxième ligne (1,0)
CQFD
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