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Niveau première
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Aire et projeté orthogonal

Posté par
J-D 11-02-07 à 12:57

Bonjour,

Nous avons la droite d d'équation d : 2x-3x-1 = 0, et les points A, B et C de coordonnées A(5;2), B(2;1) et C(8;5).

J'ai prouvé que les points B et C appartiennent à la droite d, et je dois en déduire l'aire du triangle ABC.

Je ne vois pas comment faire.
Je pense qu'un vecteur normal à d est confondu avec la hauteur issue de A, mais comment trouver la longueur de cette hauteur ?

Merci

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 13:00

Erreur d'identification, je suis désolée

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 14:43

UP, merci

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 15:03

Avec le produit scalaire ?

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 16:26

Oui mais comment ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 16:42

Et bien grâce au produit scalaire, on détermine l'équation représentant l'ensemble des points M tels que 3$\vec{AM}.\vec{BC}=0 et ensuite, on cherche l'intersection entre la droite d et celle trouvé précédemment pour trouver les coordonnées du point M.

Et après c'est simple

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 17:44

Je ne sais pas comment on détermine l'ensemble de ces points M qui vérifient cette relation

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 17:48

Tu prends un point M de coordonnées (x;y) et tu appliques le produit scalaire avec les coordonnées

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 17:54

Soit un point M de coordonnéees (x;y).

Alors on a :

3$ \vec{AM}(\(x-5\\y-2\) et 3$ \vec{BC}(\(6\\4\)

Donc :

3$ \vec{AM}.\vec{BC} = x_{AM}.x_{BC} + y_{AM}.x_{BC} \\ \vec{AM}.\vec{BC} = 6(x-5) + 4(y-2) \\ \vec{AM}.\vec{BC} = 6x+4y-38

C'est bon ?

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 17:55

*y_{BC}

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 17:58

Je trouve comme toi

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:00

Et donc l'ensemble des points M de coordonnées (x;y) qui vérifient 6x+4y-38 forment une droite orthogonale à d ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:09

Oui

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:11

En fait (pour être sûre ) ton point M c'est le pied de la hauteur issue de A ?

Ensuite comment fait-on pour trouver l'intersection de d et cette droite ?
On résoud 6x+4y-38 = 2x-3y-1 ? Deux inconnues une équation ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:14

M est un point appartenant à la droite orthogonale à [BC] et passant par A

Prend plutôt la forme d'une équation réduite que d'une équation cartésienne.

Skops

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:17

En fait, M est un point qui varie.

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:22

Et le M qu'on cherche est le pied de la hauteur issue de A, non ?

6x+4y-38 = 0
4y = 38-6x
y = -3x/2+9,5

2x-3y-1 = 0
-3y = -2x+1
y = 2/3x-1/3

Je résouds -3x/2+9,5 = 2/3x-1/3 ?

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:22

D'accord, mais le M qu'on cherche, l'intersection des deux droites ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:23

Oui
Je préfère l'apeller autrement pour ma part

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:38

Qu'est-ce que tu préfères appeler autrement pour ta part ?

Je trouve x=57/13 ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:46

Le point M, je préfère l'appeller H

Ca à l'air de marcher ?

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:48

Oui justement je ne comprends pas pourquoi depuis le départ c'est pas H mais M.

Tu peux vérifier s'il te plaît ce que j'ai trouvé ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:50

M est un point qui varie.
Moi pour ma part, je préfère apeller H, le pied de la hauteur (celui qui ne varie pas )

J'y vais

Skops

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 18:55

Je peux me tromper mais je trouve 59/13

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:01

J'ai vérifié, moi aussi, j'avais fait une erreur

Donc on a le point H de coordonnées (59/13;105/39).

Et ensuite on calcule la norme de \vec{AH} puis on calcule normalement l'aire du triangle ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:02

Voila

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:09

||\vec{AH}|| = \frac{3}{\sqrt{13}} ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:14

Oui

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:17

Et l'aire vaut \sqrt{41} ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:20

Comment tu trouves ca ?

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:21

Sur 2, j'ai oublié.

Ce n'est pas ça ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:25

Je trouve 3 moi

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:27

En fait je trouvais V41 pour BC.
Et pour l'aire je trouve 3/2 * V41/V13.

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:34

Je trouve 3$\sqrt{52} pour BC

Skops

Posté par
infophilere : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:35

Estelle = J-D ?

J'en apprends des choses aujourd'hui

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:38

Ah oui...

J'avais pris les mauvaises coordonnées de C (parce qu'au départ c'était un autre énoncé ).

J'ai compris le principe, je finirai plus tard

Merci Skops

Estelle

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:38

Kévin >> J-D = p'tite soeur d'Estelle

Estelle

Posté par
infophilere : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:42

Je me suis encore planté

Tout à l'heure j'ai confondu vincprof et smil

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:43

Je sais bien, j'ai vu

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 11-02-07 à 19:51

De rien

:D

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 07:58

Skops >> 19:01 Tu as ou tu peux vérifier y_H, s'il te plaît ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 08:39

Sans problème

Skops

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 08:46

3$H(\frac{59}{13};\frac{35}{13})

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 11:06

Je trouve 4$ \fbox{\scr{A} = 17}.

Tu confirmes ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 11:11

Tu trouves quoi pour AH ?

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 11:13

||\vec{AH}|| = \frac{17}{\sqrt{13}}

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 11:15

Je trouve la même chose qu'avant

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 11:16

Tu avais pris les bonnes coordonnées de H ?

Estelle

Posté par
Skopsre : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 11:19

J'ai pris celle que j'ai trouvé avant

Skops

Posté par
_Estelle_re : Aire et projeté orthogonal 12-02-07 à 11:35

Ce ne sont pas celles de 19:01 ?

Estelle

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