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Algèbre
Salut à tous, jai plusieurs problèmes pour commencer mon DM de mathématique:
Dans 
n, muni de son produit scalaire canonique et de norme associée, notés (/) et || ||, et (x/y)=(
i=1)n(xiyi) et ||x||=(x/x)1/2.
1)Démontrer que si(x/y)
(n)2, on a l'inégalité de Schwarz: |(x/y)|
||x||||y||(c fait).Montrer que |(x/y)|=||x||||y|| 
x et y et colinéaires (j'ai ontrer la première implication, mais je n'arrive pas à montrer que si |(x/y)|=||x||||y|| alors x et y sont colinéaires).Puis je dois montrer que si {a,b,c}
n vérifie: b
c et ||a-b||=||a-c||; alors ||a-((b+c)/2)|| strictement in féreiur à ||a-b||(je n'y arrive pas non plus).
2) Soit F un fermé non vide de n, montrer qu'il existe existe uF tel que ||x-u||||x-y|| pour tout yF(indice: on supposera d'abord que F est bornée avant d'étudier le cas général).
(Ici aussi, j'aurais besoin d'être écaliré, comme F est bornée, j'ai pus définir la borne sup et la borne inf, et utiliser la caractérisation séquentielle des fermées, mais je ne suis pas arriver à grand chose, pouvez vous m'éclairez).
MErci d'avance pour vos aides.
1) indice :
et utiliser l'inégalité triangulaire (bien étudier l'inéagalité stricte)
2) indice : on cherche simplement u qui atteint le minimum de
il faut utiliser un critère d'existence de minimum.
Rq : on peut aussi montrer que cette fonction atteint son minimum en un unique point (en utilisant le 1)).
merci pour ses informations, mais j'ai toujours le problème pour ma deuxième implication dans l'égalité de schwarz j'ai prouvé l'inégalité en élevant au carré les deux termes.
Mais si je suppose que |(x,y)|=||x||||y||, je n'arive pas à montrer que x=
y
J'ai essayé plusieurs méthode dont l'absurde en supposant que xy, d'où (i=1)n(xiyi)((i=1)n((yi)2))1/2
Mais bon je n'arrive pas a comparer les deux sommes, mais si j'élève de nouveau au carré, j'ai toujours une somme au carré et l'autre qui ne l'est pas. J'ai aussi essayer de prouver que si|(x/y)|
||x||||y|| alors x=y, car on a quelque soit x et y dans n, l'autre sens de l'égalité, mais je n'ai pas réussie pouvez vous m'éclairer.
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