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algèbre
bonjour
je voudrais savoir si un corps est obligatoirement un anneau (en fait si l'élément inverse pour la multiplication est interdit ou non-obligatoire lorsque l'on définit un anneau)
et est t-il nécessaire que la multiplication soit commutative lorsque l'on définit un corps?
un corps est toujours un anneau. On n'interdit jamais des propriétés supplémentaires en maths généralement.
Pour la 2eme question, la réponse sera peu claire : officiellement, j'ai appris que la commutativité n'était pas nécessaire pour un corps. Mais on m'a appris en sup une autre définition qui incluait la commutativité.
Je pense franchement que la version la plus utilisée de corps est avec la commutativité.
Bonjour
Oui Dryss, il y a un flou artistique (?) sur ce problème !... ce qui est quand même gênant dans une définition mathématique !
Moi aussi j'ai appris que le définition de corps n'incluait pas la commutativité... mais on trouve de plus en plus d'ouvrage qui la considère implicitement.
Souvent, les auteurs (enfin les sérieux !) précisent dès le début de l'ouvrage ce qu'ils considèrent...
Et que devient le théorème de Wedderburn si un corps est automatiquement commutatif, hein ?
alain
merci pour vos réponses.
je vais mettre "flou artistique" sur mes fiches devant la commutativité, je me souviendrais du problème..
il me reste 2 points flou dans mon cours
1
propriétés d'un anneau
x n'as pas d'inverse pour la multiplication
csq: ax=b n'as pas tj de solution (existence et unicité)
soit il y a 0,1 ou multiples solutions.
0 solution cela correspond à un inverse n'appartenant pas à E par exemple??
1 solution c'est quand c'est un corps??
et multiples solution auriez vous un exemple car je ne vois pas??
2
soit un anneau
x*y=0 n'implique pas que x nul ou y nul
(compris avec l'exemple des matrices non nulles dont le produit est nul)
mais je ne vois pas du tout le rapport avec le cours sur les anneaux et ses propiriétés, ce que ca vient faire la..
Bonjour,
1)
0 solution cela correspond à un inverse n'appartenant pas à E par exemple??
->Oui exactement! Si de plus ton anneau est intègre, tu peux construire son corps des fractions, et ton équation aura des solutions, en tout cas lorsque a est non nul.
1 solution c'est quand c'est un corps??
-> En effet, si toute équation du type ax = b (avec a non nul) admet une solution unique, alors l'anneau est un corps.
En effet, pour tout a non nul l'équation ax = 1 admet alors une solution, donc tout a non nul est alors inversible.
et multiples solution auriez vous un exemple car je ne vois pas??
Il y a des exemples triviaux (a=0 et b =0).
Sinon, il suffit de trouver un exemple dans les matrices, avec AX1 = AX2.
Cela s'écrit A(X1 - X2) = 0.
Il suffit de se placer dans M2(R) , de choisir une matrice A dont le noyau K est de dimension 1.ALors pour toute matrice Y dont les vecteurs colonne sont dans K , on aura A.Y = 0.
Pour tout couple (X1,X2) de matrices de différence Y, on aura bien alors A.X1 = A.X2, et il est clair qu'il existe de tels couples qui vérifient X1 différent de X2.
2) Le rapport avec les anneaux est que dans un corps, on n'a jamais ce phénomène.
Plus précisément, les anneaux pour lesquels la relation xy = 0 entraîne x = 0 ou y = 0 sont dits intègres, et ils jouissent de propriétés intéressantes (par exemple, on peut les plonger dans un corps, comme je te le rappelais tout à l'heure).
Ce ne sont pas tous des corps pour autant (contre-exemple: Z !), par contre tout anneau intègre et fini est un corps commutatif (je précise!)
bonsoir
je n'ai pas compris la deuxième réponse.
si l'on dit que dans un corps on n'a jamais le phénomène xy=0 entraine x=0 ou y=0 et que un anneau intègre et fini est un corps commutatif n'est ce pas contradictoire?
de plus qu'est ce qu'un anneau fini??
si l'on dit que dans un corps on n'a jamais le phénomène xy=0 entraine x=0 ou y=0
-> C'est le contraire!! Dans un corps, tout x non nul est inversible, donc xy = 0 => y = 0 en multipliant à gauche par l'inverse de x.
Un anneau fini?? Eh bien Z/nZ par exemple!
j'avais mal lu.méa culpa.
par contre je n'ai pas compris même avec l'exemple pour l'anneau infini.pour moi,
nz est infini dénombrable.
eu je ne sais. multiple des relatifs?
je n'ai pas compris ce qu'est un anneau fini.pas compris l'exemple.
merci de répondre aussi tard en passant.
Mais nZ n'est pas un anneau! Peut-être ne connais-tu tout simplement pas Z/nZ.
En quelle année es-tu?
premiere année de mass ou je n'ai quasiment rien fait par ailleurs mias je n'aime pas avoir du flou quand j'essaye de comprendre.
non je ne connais pas enfin ça ne me dit rien.
Ok, ça doit se voir en troisième année actuellement, peut-être en deuxième année suivant les facs.
Un exemple simple : E = {0; 1; b} muni des lois + et . associatives et commutatives définies par:
0 et 1 éléments neutres respectifs de + et .
1 + 1 = b
1 + b = 0
b + b = 1
1.0 = 0
b.b = 1
Je te laisse vérifier que c'est un anneau intègre fini, et que c'est aussi un corps commutatif.
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