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Algèbre
Bonjour, j'aimerais que vous m'aidiez a répondre à cette question.
On désigne par 
[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et par 2[X] le sous espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et le polynôme nul. On rappelle que la base canonique de 2[X] est B=(1, X, X2).
1/ Etant donné 3 réels 2 à 2 distincts a1, a2 et a3, on considère trois polynômes Q1, Q2 et Q3 de [X] tels que (i,j)
{1,2,3}2 on a Qi(aj) si i
j et Qi(ai)0.
Démontrer que Q1,Q2 et Q3 sont linéairement indépendant.
Je ne sais pas par ou je dois commencer.
Merci pour votre précieuse aide.
a12+
a2+a3 ? Après, on pose P1(X)=1/8(X-3)(X-5); P2(X)=-1/4(X-1)(X-5; P3(X)=1/8(X-1)(X-3)
Je dois calcule Pi(1), Pi(3) et Pi(5) pour i {1,2,3}. Jusque là, c'est simple.
Ensuite je dois en déduire que P=(P1,P2,P3) est une base de 2[X].
Donc je dis que P est une famille maximale.
Ensuite je dois montrer qu'elle est libre. Donc la je fais 
1P1(X)+2P2(X)+3P(X)=0 pour X=1 , X=3 et X=5 ?
Est ce que la matrice de passage de la base B à la base P est
(15/8 -5/8 3/8) ??
(-1 3/2 -1/2)
(1/8 -1/4 1/8)
Ca dépend de la définition de la matrice de passage, des fois on en prend une d'autres fois son inverse... Mais c'est de ce genre!
la en faite par exemple pour P1, j'ai développé, ce qui donne, P1= 1/8(X2-8X+15). donc la 1ère colone de la matrice de passage est (1/8; -1; 15). C'est bon ou pas?
Oui, j'ai bien compris... je dis simplement que je ne sais pas quelle définition tu as pour la matrice de passage, mais je suppose que tu as écrit comme en cours!
Merci beaucoup pour ton aide.
J'ai une autre question, désolé de t'embeter.
On pose P0(X)=(X-1)(X-3)(X-5)
on note R(X) le reste de la division euclidienne de P par P0.
Soit f l'application de R[X] dans R[X] définie par f(P)=R
Démontrer que f est linéaire : facile
Mais comment fait on pour trouver l'image de f?
P=(P1,P2,P3) avec P1(X)=1/8(X-3)(X-5); P2(X)=-1/4(X-1)(X-5; P3(X)=1/8(X-1)(X-3) je l'ai marqué plus haut
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