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Algèbre
Bonjour. Il ya deux petites questions auxquelles je n'arrive pas à répondre dans un éxercice. Voici l'énoncé :
Soit E un espace vectoriel sur une corps K (réel ou complexe). Soit f un projecteur de E (endomorphisme) :
2)Que peut-on dire de la restriction de f à Im(f)
Ici j'ai répondu : on peut définir l'endomorphisme g de Im(f) vérifiant pour tout x de Im(f), g(x)=f(x)
Cependant, comme on ne sait pas si E est de dimension finie, je ne vois pas ce que je peux dire de plus (comme la bijectivité par exemple, si ça aurait été de dimension finie).
3)Montrer que pour tout sous-espace vectoriel A de E on a :
f-1(A)=(A
Im(f))
Ker(f)
Si j'avais eu un espace vectoriel de dimension finie, j'aurais montrer que l'image du terme de droite vaut A tout entier, mais ici je ne vois pas comment faire.
Par définition, un endomorphisme est un projecteur si et seulement si f°f = f.
Donc la restriction de f à Im(f) est l'application identique ! Non ?
Pour tout x de Im(f), il existe y tel que f(y)=x. Or (f°f)(y)=f(x)=f(y)=x !
j'aurais montrer que l'image du terme de droite vaut A tout entier
je ne vois pas le rapport avec la dimension finie...
qui plus est, f(B)=A n'est pas équivalent à B=f-1(A) lorsque f n'est pas injective (et un projecteur l'est rarement !)
Ok, c'est vrai que vu comme ça, ça parait évident
Pour la seconde question, vous pourriez me mettre juste sur la voie, sans la réponse svp.
il faut déjà que tu montres que A
Im(f) et Ker(f) sont en somme directe... c'est à dire que leur intersection est réduite au vecteur nul
J'ai juste la définition, pourquoi, il y a beaucoup de choses à savoir là dessus?
Je sais que sa projection se fait sur Ker(f-Id) et...c'est tout
Ok, c'est fait.
f(x)=0 (pour le ker(f)) et il existe x' tq f(x')=x pour Im(f)
donc f(f(x'))=f(x)=0 car f projecteur
donc f(f(x'))=f(x')=x=0
Ainsi l'intersection de Im(f) et Ker(f) est nulle
f-1(A)
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