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Algèbre(Anneau, idéal) L3
1)Si A est un anneau principal qui n'admet qu'un seul idéal maximal aA, montrer que si I est un idéal de A , alors, il existe un unique n
0 tel que I=A*a^n.
2)pour tout 0 différent de b appartenant à A, on définit v(b) comme le plus grand n>=0 tel a^n divise b
Monter que v(bb')=v(b)+v(b')
Montrer que v(b+b')min(v(b),v(b')) et que v(b+b')=min(v(b),v(b')) pour v(b) différent de v(b')
3)Soient K(A) le corps des fractions de A et K(A)* son groupe multiplicatif des éléments non nuls.
Montrer que si b/b'=c/c'
K(A)* alors v(b)-v(b')=v(c)-v(c')
4)Pour b/b'ϵK(A)*, on pose v(b/b')=v(b)-v(b')
Montrer que A-{0}={b/b'K(A)*,v(b/b')0}
5)Montrer que b/b'ϵK(A)* est un élément inversible de A si et seulement si v(b/b')=0
6)Montrer que v(b/b')=v(c/c')(b/b' et c/c' K(A)*) si et seulement s'il existe un élément inversible uϵA tel que b/b'=uc/c'
7)Montere que v est un homomorphisme surjectif du groupe multiplicatif K(A)* dans le groupe additif Z dont le noyau est U(A)(Le groupe des unitées(éléments inversibles) de A). en déduire que K(A)*/U(A) est isomorphe à Z
Pourriez vous m'indiquer une démarche à suivre pour résoudre ces questions??
Merci d'avance
1) Il faut supposer .
Si I=A, on a . Dans la suite on suppose
. Puisque A est principal, il existe b tel que I=bA. Comme aA est le seul idéal maximal, on a
donc
, donc a divise b. Soit n le plus grand entier tel que
divise b. Je te laisse le plaisir de démontrer que
La suite est purement calculatoire...
merci pour la question 1
Ben en fait j'ai réussi à montrer que v(bb')=v(b)+v(b') mais pour le reste je bloque complètement alors que comme tu l'a dit c'est purement calculatoire
Soient et
avec x et y non divisibles par a, et supposons
. Alors
. Là tu devrais pouvoir conclure selon que v(c) > v(b) ou v(c)=v(b).
pour v(b)=v(c) on a alors b+c=av(b)(x+y) ce qui donne immédiatement v(b+c)=v(b)=min(v(b),v(c))
pour v(b)<v(c) ça donne av(c)-v(b)y<av(c)y et donc b+c<av(b)(x+av(c)y) mais je sais pas comment conclure
Merci encore de m'aidé c'est très gentil!!!
Non, justement tu conclus quand il ne faut pas! Quand v(b) < v(c), on est sur que n'est pas divisible par a, donc v(b+c)=v(b) (ici c'est le min)
Mais si v(b)=v(c), et il se pourrait que x+y soit divisible par a; on peut seulement affirmer que
Ha d'accord je me disais aussi parce qu'après on demande de montrer que v(b+b')=min(v(b),v(b')) pour v(b) différent de v(b')
Merci 
pour la question 3 je pense avoir trouvé:
on a par hypothèse b/b'=c/c' ce qui équivaut à c'b=cb' et avec la question 2 on a que v(c'b)=v(c')+v(b) et v(cb')=v(c)+v(b') donc on a directement que v(b)-v(b')=v(c)-v(c') et on a bien b,b',c,c' appartenant à A vu que b/b' et c/c' appartiennent à K(A)*
pour la 6) c facile une fois qu'on a la 5)
pour la 5) v(b/b')=0 équivaut à v(b)=v(b') et après je vois pas comment arriver à b/b' inversible
b=a^m*x et b'=a^m*y si v(b)=v(b') donc b/b'=x/y et x et y appartiennent à A-aA
il faudrait que je montre que tout élément de A-aA est inversible comme ça x et y seraient inversibles donc x/y aussi
Mais je ne sais pas comment faire :(
Indication: tu sais déjà que les éléments non nuls de A, sont tels que Montre qu'un élément x de A est inversible
si et seulement si v(x)=0
J'ai beau essayer j'y arrive pas!! :(:(Je suis désespérante je vais arrêter la je crois
j'ai déja pas mal avancer grâce à toi
merci encore
NON! N'arrête pas juste au moment où ça devient intéressant!
Les éléments de aA ont tous un v(x) > 0, puisqu'ils sont divisibles par a. Qui n'est pas dans aA? Justement les inversibles! En effet, comme aA est le seul idéal maximal, si x n'est pas dans aA (c'est-à-dire v(x)=0)) xA=A et alors x est inversible.
Il est immédiat que si x est inversible, il existe y tel que xy=1, donc v(x)+v(y)=v(1)=0 et on en tire v(x)=0.
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