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algebre : anneaux

Posté par
fouif 27-11-08 à 00:35

voila un dernier probleme ami mathematicien


Soit R un anneau commutatif unitaire et A = (B C,0 D) appartenant a Mn(R) triangulaire par blocs, avec B appartenant a Mp(R) et D appartenant a Mn-p(R)

montrer que A=(Ip 0, 0 D)(B C, 0 In-p

et en deduire que det(A) = det(B)det(D)

merci les gars

Posté par
Camélia Correcteurre : algebre : anneaux 27-11-08 à 14:13

Bonjour

C'est un simple calcul de multiplication par blocs.

\(\begin{array}{cc}I_p & 0_{p,n-p}\\ 0_{n-p,p} & D\end{array}\)\(\begin{array}{cc}B & C\\ 0_{n-p,p} & I_{n-p}\end{array}\)=\(\begin{array}{cc}I_pB+0 & IC+0I\\ OB+D0 & 0C+DI\end{array}\)=A

En développant par rapport aux premières lignes p fois, tu montres que le déterminant de la première matrice ci-dessus vaut det(D) et en partant de la dernière ligne, tu vois que le déterminant de la seconde vaut det(B).


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