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[Algèbre]dimension d'un sous-espace vectoriel, tableau de Gauss
Bonsoir à tous,
Je vous écris afin de vous demander une explication, suite à la correction d'un exercice sur la résolution de systèmes d'équations linéaires.
On a l'égalité suivante :
(-1;-1;-2;1),
(1;-1;1;0),
(0;0;1;1),
(1;0;0;-2) 
(0;1;0;-1) = (5;2;1;0)
avec les vecteurs: X1=(-1;-1;-2;1),X2=(1;-1;1;0), X3=(0;0;1;1), X4=(1;0;0;-2) et X5=(0;1;0;-1) et Y=(5;2;1;0).
On a le tableau de Gauss suivant :
| -1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 5 |
| -1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 2 |
| -2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | -2 | -1 | 0 |
au final, et après les pivotements, on a :
| 1 | 0 | 0 | -1/2 | -1/2 | -7/2 |
| 0 | 1 | 0 | 1/2 | -1/2 | 3/2 |
| 0 | 0 | 1 | -3/2 | -1/2 | -15/2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 11 |
je n'ai pas eu de souci à résoudre le tableau de Gauss, seulement, je dois répondre à la question suivante :
on veut savoir si Y appartient à l'espace vectoriel engendré par {X1...Xp}
Or, on dit que le sous-espace vectoriel est de dimension 4, mais que Y est un vecteur à 3 dimensions.
Quel est le lien avec les 3 vecteurs qui engendrent la famille {X1,X2,X3}?
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait?
Merci d'avance,
Si ton tableau est juste, tu obtiens un ev de dimension 3 ( les 4èmes et 5èmes vecteurs sont Combinaison linéaire des 3 premiers).
Si tu regardes bien la dernière ligne du tableau, tu dois remarquer que tu obtiens une équation sans solution du style 0x+0y+0z+0t=11.
Donc Y n'appartient pas à l'ev engendré par les Xp.
Bonjour,
Merci pour votre réponse rapide, mais je crains de ne pas bien comprendre...
Est-ce que c'est le fait d'avoir un nombre non nul dans la dernière case pour le Y, qui entraîne que le vecteur Y n'appartient pas à l'espace vectoriel engendré par les Xp??
Si on avait eu un 0 à la place du 11, est-ce que Y appartiendrait à l'ev engendré par les Xp?
Dans le corrigé, j'ai écrit que le sous espace vectoriel était de dimension 4, et que le vecteur Y était un vecteur à 3 dimensions, et donc que c'était pou cette raison que le vecteur Y n'appartenait pas à l'espace vectoriel engendré par les Xp, et vous me dites que l'ev est de dimension 3.Est-ce que vous pouvez m'apporter des compléments d'explication, svp??
En vous remerciant d'avance,
Non c'est l'inverse: Y est un vecteur à 4 coordonnées.
Le tableau de Gauss sert à exhiber une base de l'ev des Xp et tu trouves que tu n'as besoin que de 3 vecteurs donc cet ev est de dimension 3.
Autrement dit, dans ton tableau final, La diagonale de 1 est constituée de 3 nombres égaux à 1( d'où dimension 3).
La dernière ligne est constituée de 0 sauf la coordonnée de Y. Tu ne peux donc pas trouver trois nombres x,y,z tels que xX1+yX2+zX3=Y: l'équation sur la 4ème coordonnées serait 0x+0y+0z=11 qui est une équation impossible don Y n'appartient pas à l'ev
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