Bonjour.

Utilise l'hypothèse , en écrivant 1 comme somme d'éléments de J et K.

Euh désolé mais je ne vois pas vraiment comment le faire 1 est dans B vu que B unitaire mais je ne sais pas si 1 appartient à J ou bien à K ? comment l'écrire alors ? et comment conclure à partir de ça parce que je ne vois pas du tout ...

Peut-tu m'aider encore un peu  ?

Merci d'avance

1 appartient à B, et B = J + K, cette dernière égalité signifie que tout élément de B s'écrit comme la somme d'un élément de J et d'un élément de K ...

oui ça je vois mais comment je choisis ces éléments dans J et dans K ?

Et une fois que je l'ai écris comment j'en arrive à mon inclusion ?

Merci d'avance de ton aide .

Tu ne les choisis pas, ils sont donnés par hypothèse, tu sais que tu peux écrire , avec et .

Ensuite, utilise le fait que pour tout x dans l'anneau. (et en particulier dans )

je vois maintenant x appartient à JK qui est un anneau donc dans cette anneau x=1x comme 1=u+v avec u dans I et v dans J donc x =ux+vx comme I et J deux ideaux ux est dans I et vx dans J donc x est dans I + J et là j'ai prouvé mon inclusion c'est bien cela ?

C'est ça !

mais mon problème c'est que ça ne prouve pas que JK est inclus dans JK ça ?

Peux-tu me donner un dernier coup de main ?

Merci d'avance.

Qu'est-ce que ?

c'est {_i=Oⁿa_ib_i|n ,a_iJ,b_iK}.

Il y a également un autre souci j'ai dis plus haut que I inter J est un anneau mais ce n'est pas forcément vrai c'est seulement un idéal est ce que ca marche quand même ?

Merci encore

Je ne vois pas le problème, x appartient à B, donc on a .

Ok pour JK, est-ce que tu ne peux pas en déduire alors que appartient à JK ?

ha mais moi je prenais x dans J inter K donc je prends x dans B comme x dans B x=1x comme B=J+I alors x est dans J+I on a montré tout à l'heure que x s'écrivait x=ux+vx ... Je ne vois pas comment en déduire que x est dans JK ??

Et même si j'ai démontré que x est dans JK, x pour le moment est dans B donc en fait je montrerais simplement I+J est inclus dans JK non ?

Merci encore.

C'est J et K, et non I et J. ^^

On a .
Par définition de l'idéal JK, on a bien .

Je ne comprends tes problèmes avec les inclusions, on prend et on montre que , ça prouve bien l'inclusion .

oui exact mais j'essaie de respecter les notatins de l'exo en utilisant J et K mais traditionnellement les idéaux c'est plutôt I et J c'est pour ça^^
Ha oui oui bien sur ayer je vois ^^ (au fond on peut voir x comme élement de B mais aussi de K et de J, c'est un peu la clé qui m'avait manqué mais j'ai retrouvé ça tout à l'heure finalement)

Je dois avouer j'étais complétement embrouillé dans mes inclusions mais tout à lheure j'ai tout réécrit proprement et je me suis rendu compte que finalement je m'étais retrouvé mais tu me l'as confirmé ^^

Merci encore beaucoup de ton aide.

au fond on peut voir x comme élement de B mais aussi de K et de J
C'est tout à fait normal, , donc tout élément de est un élément de .

j'ai tout réécrit proprement
C'est le mieux quand on voit qu'on s'est perdu. ^^

Merci encore beaucoup de ton aide.
De rien.
A bientôt !