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Algébre, Espace Vectoriel, Polynôme, Matrice, Noyau, ecs1
Bonjour à tous, étudiant en ECS1 je dois montrer que f(P)=XP' - X(X+1)P'' est un endomorphisme de R3[X]. : Jusque la, tout vas bien..
Je dois ensuite trouver son noyau et image.
Je met sous forme matricielle dans la base canonique :
O O O O
O 1 -2 O
O O O -6
O O O -3
Car, f(X°)=0
f(X)= X
f(X²) = -2X
f(X3) = -3X² - 6X
Pour le noyau j'ai : x-2y=0
-6z=0
-3z=0
soit : z=O
et x=2y
: Je ne vois pas ce que je peux conclure
et Pour l'image je bloque...
Merci si vous pouvez m'aider
Bonsoir.
Pour le noyau, on cherche des vecteurs du type : a + bX + cX² + dX3
Les équations deviennent :
a quelconque,
b = 2c
d = 0
Les éléments du noyau sont du type : a + 2cX + cX² = a + c(2X + X²)
Ker(f) est donc le sous-espace de dimension 2 : Vec(1 ; 2X+X²)
Cela signifie que dim(Im(f)) = 2
Pour étudier Im(f), cherche dans les colonnes de la matrice deux vecteurs indépendants : (C2 et C4 conviennent)
Im(f) = Vec(X ; -6X² - 3X3) = Vec(X ; 2X² + X3)
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