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Algèbre et polynomes
Bonjour, une petite question qui m'embête ne voyant pas le lien entre les hypothèses et la conclusion...
On a un L un corps commutatif, K un sous-corps de L et x un élément de L. On note :
On suppose que x est algébrique sur K. Je dois montrer que K[x] est de dimension finie sur K.
Une piste ?
Merci d'avance !
)On a :
{ ensemble des complexes algébriques sur
}
Soient
J'ai montré que y est algébrique sur et que
est de dimension finie. En remarquant que
et
sont contenus dans
, il faut que je montre que
et
.
Mais j'ai l'impression de m'embrouiller...
Oui, mais je pensais à autre chose.
Au temps pour moi, je pensais que tu avais démontré l'équivalence. En effet, x est algébrique sur k si et seulement si K[x] est de dimension finie et pour résoudre ton dernier problème, on a besoin de l'implication inverse.
Kaiser
En fait, j'ai démontré l'équivalence dans les questions précédentes...
Et du coup, je comprends où tu veux en venir... c'était effectivement à portée de main !
Merci.
Just a last question
Quelle est la définition d'un corps algébriquement clos ?
Autrement dit, que veut dire "algébriquement clos" ?
salut
x est algébrique sur K si il est racine d'un poly à coef dans K
soit n son degré; alors 1 ,x,x2,...,xn engendrent K[x] qui est donc de dim=<n
Un corps K est dit algébriquement clos si c'est un corps tel que tout polynôme non constant à coefficients dans K possède une racine dans K.
Par exemple, le corps des réels n'est pas algébriquement clos alors que celui des complexes l'est (théorème de d'Alembert Gauss)
Kaiser
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