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Algèbre Famille libre

Posté par
Paulo62 10-03-10 à 21:01

Bonjour,

je bloque totalement sur un exercice :
Montrer qu'une famile {v1,...,vk} de vecteurs est libre si et seulement si aucun des vecteurs vi, 1<=i<=k n'est combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille

Je sais qu'une famille est libre si c1v1 + ... + ckvk = 0 => c1 + ... + ck = 0, mais après je ne vois pas trop comment m'y prendre.
Merci de bien vouloir m'aider !
A+

Posté par
verdurinre : Algèbre Famille libre 10-03-10 à 22:27

Bonsoir.
une famille est libre si  et seulement si c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k = 0 \Rightarrow c_1 = \cdots = c_k = 0.
Si l'un des vecteurs, disons v_k en renumérotant éventuellement, est combinaison linéaire des autres on a :
v_k= c_1 v_+\cdots+c_{k-1} v_{k-1}
d'où c_1 v_+\cdots+c_{k-1} v_{k-1}+(-1)v_k=0 : la famille n'est pas libre.

Posté par
Paulo62re : Algèbre Famille libre 10-03-10 à 22:44

Ok merci, j'y été presque en fait

Aurevoir

Posté par
verdurinre : Algèbre Famille libre 10-03-10 à 23:11

J'espère que tu as remarqué que ma démonstration n'est pas complète.


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