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Algèbre-Groupes
Bonjour,
On nous a donné une fiche révision d'exercice d'algèbre et certains points me posent problèmes. Les voici:
-Montrer que tout groupe d'ordre un nombre premier est cyclique:
On doit montrer que si on a un groupe d'ordre premier, il est engendré par un seul élément.
Soit G un groupe d'ordre p premier. p divise l'ordre de G et p premier donc on sait qu'il existe un élément d'ordre p dans G. Notons le g. Alors g^(p)=e.
Considérons alors l un élément quelconque de G. Comment montrer que l s'exprime en fonction d'un seul élément de G?
ord(l) divise card(G)=p donc ord(l)= 1 ou p et alors?
-Un sous groupe d'un produit cartésien de groupes est il forcement un produit cartésien de sous groupes?
A mon avis, si on nous le demande c'est que non!Mais encore faut il trouver un contre exemple!
-Soit G un groupe ayant un nombre fini de sous groupes. Montrer que G est fini.
Notons G1, G2, ..., Gk les sous groupes de G. On veut montrer que le cardinal de G est fini. Il doit surement falloir raisonner par l'absurde?
En attendant une petite aide, merci d'avance
pour le 1) t utilise cauchy?
tout simplement soit g un élément d'ordre différent de 1
<g> est un sous groupe donc o(g)|p donc o(g)=p
<g> sous groupe |<g>|=|G| donc <g>=G.
pour le 2) en considérant Z^2 ca devrait marcher.
pour le 3) soit x un élément de G nécssairement o(x) est fini (sinon on crée une infinité de ss groupe.
supposons G infini alors
soit g1 dans G o(g1) est fini sinon ...
soit g2 dans G-<g1> o(g2) est fini
donc il existe g3 dans G-<g1,g2> ...
G est infini
enfin pour le 2) ce n'est pas si clair que ca...
si on prend un sous groupe A de Z^2 alors A non vide et:
-pour tout b,b' dans A , b+b' dans A
-pour tout b dans A , -b dans A
On sait que (0,0) est dans A.
Si on prend par ailleurs (0,1) dans A alors on peut obtenir le sous groupe de Z^2 suivant:{..., (0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)...} qui peut s'écrire: {0} X kZ comme un produit de sous groupes... 
pour le 3)
si G est infini
soit x dans G
si o(x) est infini
alors <x> , <2x>, ..., <nx>, .... forment une infinité de sous groupe distinct
impossible
maintenant
on prend x1 il est d'ordre fini
G-<x1> est donc infini (ce n'est pas un groupe) il contient un element x2
forcement x2 est d ordre fini.
G-{<x1>U<x2>} admet une infinite d element x3
forcement d'ordre fini ....
on a crée une suite xn d'élément avec certaine propriete :
<xn> ont des sous groupe distincts
(on en a une infinité)
Une rédaction posssible :
Soit (G,.) un groupe n'admettant qu'un nombre fini de sous-groupes H.
Supposons que G soit infini .
On prend a0 
G \ {e} . <a0> ne peut être infini (sinon , isomorphe à (
,+) , il possèderait une infinité de sous-groupes et donc G aussi , ce qui n'est pas le cas.)
Alors G \ <a0> est infini et on prend a1 dans G \ <a0> . <a1> n'est pas non plus fini .
On fabrique alors une suite n 
an G telle que pour tout n on ait an+1 
0
kn <an>
n <an> est donc injective , ce qui est contradictoire avec le fait que les sous groupes de G sont en nombre fini.
Bonjour,
il y a un théorème pour ça c'est le théorème de Lagrange qui dit que l'ordre de tout sous groupe divise l'ordre du groupe, puis construire un sg de G à partir d'un élément de G.
pour la 2ème question considérer le produit de groupes G1
G2 et considérer un de ses sg H1H2. Démontrer que H1 et H2 sont des sg en introduisant l'ensemble {(a ; e2)) ou aH1} où e2 est l'élément neutre de H2.
Rectificatif pour la 2ème question un sg de G1G2 n'est pas forcement un produit de sg. Considérer l'ensemble formé des (an,bn) où n c'est un sg de G1G2 mais il ne contient pas un élément du type (a, e) (e élément neutre de G2) qui apparaitrait dans un produit de sg.
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