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Algèbre : groupes normaux etc.
Bonsoir !
J'ai un exercice que je n'arrive pas à faire, alors que j'ai la correction !
On travaille dans S4. On a un élément g d'ordre 2. On appelle N le plus petit sous groupe distingué de S4 qui contient g. On a montré précedemment que si g est une transposition, N=S4, et que si g est un produit de deux transpositions à supports disjoints, alors N=V (le groupe de Klein).
Dans la question qui m'interesse, on considère un automorphisme f de S4 et une transposition (i,j) de S4. Je dois montrer que f((i,j)) est toujours une transposition.
Dans la correction, on remarque que f((i,j)) est d'ordre 2, c'est donc soit une transpo, soit un produit de deux transpo à supports disjoints. Par l'absurde, on suppose qu'on est dans le 2e cas ; f((i,j)) appartient au groupe de Klein, donc (i,j) appartient au sous groupe normal f-1(V). Et là le prof écrit que c'est absurde. Pourquoi ?
Merci d'avance pour votre aide !
Si l'image par f de la transposition (i,j) est un élément du groupe de Klein. Ce dernier, noté V, est le plus petit groupe normal qui contient f((i,j)). Mais est normal et contient une transposition, ça doit donc être S4. C'est bien absurde car f est un automorphisme qui préserve, en particulier, le cardinal !
Re-bonsoir,
je vais pas créer un nouveau topic, même si c'est un exo différent : c'est le même thème.
J'ai un groupe G d'ordre 5075=5²*7*29, et Q un sous 29-Sylow de G. Je dois montrer que Q est distingué dans G.
J'ai montré qu'il y a soit 1 soit 275=5²*7 29-Sylow. Je ne pense pas qu'il y en a 275, ça me semble beaucoup, mais je ne vois pas pourquoi.
Je ne sais pas si ça peut servir, mais j'ai précedemment montré qu'il existe un unique 5-Sylow (distingué, donc), et qu'il existe un sous groupe d'ordre 5²*29.
La troisième partie du théorème de Sylow donne une information sur le nombre de p-Sylow, non ? une histoire de congruence modulo p...
On sait que le nombre de 29 Sylow divise 5²*7, donc il peut ^tre égal à 1, 5, 7, 25, 35, 375.
Mais il doit aussi être congru à 1 modulo 29, ce qui ne laisse plus que 1 et 275 possible... mais comment savoir entre les deux ?
(heu pas 275 ni 375...)
Faisons l'hypothèse : il y a 175 29-Sylow.
Ce que l'on sait est que les 29 Sylow sont cycliques donc d'intersection triviale. Dans ce cas on a 175 * (29 - 1) = 4900 éléments d'ordre 29 (et pas d'autre). C'est vrai que c'est beaucoup, mais ça reste possible.
Il y a le 5-Sylow qui donne 24 éléments d'ordre 5.
Il y a l'élément neutre.
Il y a au moins un 7-Sylow qui donne 6 éléments d'ordre 7.
On a compté en tout 4931.
As-tu des renseignements sur ton sous-groupe d'ordre
Oui pardon, sur ma feuille j'avais bien marqué 175, et sur mon clavier j'ai tapé un coup 175 et l'autre 275... J'étais fatigué !
Mouais je vois pas ce que je peux en faire de cette nouvelle information... Au secours tringlarido !
Salut,
Je crois avoir une solution. Mais je ne suis pas très sur de mes affirmations, relies bien et dis moi si tu es d'accord.
Le 5-Sylow est distingué d'ordre 25, notons le . Ce dernier est soit isomorphe à
soit isomorphe à
(classification des groupes d'ordre 25).
Prenons un 29-Sylow, , il est nécessairement cyclique. L'ensemble :
est un sous-groupe car est distingué. On dit que c'est un produit semi-direct.
L'action de sur
par conjugaison est nécessairement triviale. Pour voir cela, il suffit de calculer
et montrer qu'il ne contient pas d'éléments d'ordre 29. C'est bien le cas :
Maintenant le dénombrement aboutit à une contradiction en utilisant le fait que si et
sont deux 29-Sylow distincts alors :
Hello tringlardio !
Je te suis jusqu'au moment que tu dis que l'action de H29 sur H5 est triviale. En quoi est-ce une conséquence du fait que Aut(H5) n'a pas d'éléments d'ordre 29 ?
OK je crois avoir trouvé !
D'après mon post du 27-10 à 18h54, il existe un groupe d'ordre 5²*29=725, distingué dans G. Appelons A ce groupe.
Soit P un 29 Sylow de A. Comme la valuation de 29 est la même dans A et dans G, P est aussi un 29 Sylow de G. On obtient alors tous les 29-Sylow de G en conjuguant ce P par des éléments de G. Mais comme A est normal, et que P est inclus dans A, en conjuguant, on reste dans A. Tous les 29 Sylow de G sont donc dans A.
Chercher les 29-Sylow de G revient donc à chercher les 29-Sylow de A.
D'après le 3e théorème de Sylow, on doit avoir que le nombre qu'on cherche divise 25, et est du type 29k+1. Ce nombre c'est donc 1.
Qu'en penses tu ?
Soit dit au passage, j'ai simplement reproduit ce que mon prof a fait hier pour trouver les sous groupes de Sylow de S5 : il a dit que ça revenait au même de chercher dans A5...
Bon, très bien !
Suite à ça, j'ai réussi à montrer que G admet un sous groupe K d'ordre 5²*7.
Ils me demandent alors si G est résoluble...
Je récapitule :
G est d'ordre 5²*7*29
Il y a un unique 5 Sylow P (donc distingué)
Il y a un unique 29 Sylow Q (donc distingué)
G admet un sous groupe distingué H d'ordre 5²*29
G admet un sous groupe K d'ordre 5²*7
J'ai commencé par écrire que G/H est abélien (car d'ordre 7), et comme H est distingué dans G, on a G' 
H. Mais je ne vois pas comment continuer...
Un petit coup de main tringlarido ? Dis moi si tu en as marre ! En tout cas, merci pour ton aide qui jusque là m'a été bien utile 
Quel est la structure de H ?
Quel est la structure de G/H ?
Que peut-on en déduire sur G ?
Il faut utiliser le théorème suivant :
H résoluble et G/H résoluble => G résoluble.
question subsidiaire : Y'a t'il 1 ou 29 7-Sylow dans G ? Les deux cas sont-ils possibles ?
G/H est abélien (donc résoluble), et H est distingué dans G, il suffit donc de montrer que H est résoluble...
or H admet un 5 Sylow P, il est même unique (puisqu'il n'y a qu'un seul 5 Sylow dans G). H/P est d'ordre 29, donc abélien. De plus, P est distingué dans H puisque c'est le seul 5-Sylow. Donc il faut montrer que P est résoluble. Si on y arrivé, ça montrera que H est résoluble, puis que G est résoluble...
/25Et la dernière question de mon exo : montrer que G est abélien ssi K est distingué dans G.
Le sens direct est trivial, c'est le sens indirect qui me pose problème.
J'ai pensé à deux choses :
- essayer de montrer que Z(G)=G
- faire agir G sur lui même par conjugaison.
Vu l'esprit de l'exo, je prviligierais plutot la première piste, mais je ne vois pas comment faire...
Ah oui j'ai oublié de préciser ma pensée pour la seconde piste : faire agir G sur lui même par conjugaison et essayer de montrer que l'action est triviale
Ce n'est pas le plus difficile...
Si K est distingué est-ce que le 7-Sylow ne le serait pas lui aussi ?
Après montrer qu'un groupe dont les Sylows sont abéliens distingués est abélien.
Merci tringlarido, je vais m'y atteler.
Enfin je trouve ça dur quand même, si tu n'as jamais vu qu'un groupe dont tous les Sylow sont abéliens distingués est abélien, c'est dur de penser à ça !
Ok, je pense avoir trouvé, dis mois ce que tu en penses.
Je pose A=PQ
P et Q sont des groupes cycliques, générés respectivement par p et q.
Je montre que le commutateur [p,q] est dans l'intersection de P et de Q : c'est donc l'identité. p et q commutent, donc P et Q commutent, donc PQ=QP donc A est un sous groupe de G. De plus, comme P et Q sont des sous groupes normaux de G, on voit vite que A est un sous groupe normal de G.
De plus, A est abélien et le cardinal de A est égal à car(P)*card(Q).
Je pose maintenant B=AR. On montre de même que B est un sous groupe de G, qu'il est abélien, et que son cardinal est égal à car(P)*card(Q)*card(R)=car(G). C'est donc G ; G est abélien !
Oups, Q n'est pas forcément un groupe cyclique puisque son cardinal est 25, mais en fait on a pas besoin de ça, il suffit de montrer que le commuateur de deux éléments quelconques (et pas forcément un générateur) est le neutre.
En fait, si tu n'as jamais vu le produit semi-direct c'est sur que c'est un peu perturbant. Une fois que tu as bien compris la notion, ça coule de source.
En bref, on part de :
une suite exacte de groupes. Et on se demande à quoi peut ressembler G. Le cas le plus simple est lorsqu'il existe un morphisme de groupe qui est une section de
. Dans ce cas on dit qu'on a un produit semi-direct. Si l'image par ce morphisme est distingué, on obtient un produit direct (c'est exactement le cas qui nous intéresse ici).
Ou, plus élémentaire :
On regarde directement ce qui se passe à l'intérieur de G. Si, K, H sont deux sous-groupes distingués disjoints de G alors le produit KH est bien défini et isomorphe au produit direct (lorsqu'un des deux n'est pas distingué c'est toujours un sous-groupe, mais on appelle cela un produit semi-direct).
Mais ce que j'ai fait, c'est juste ?
La première partie (sur la suite exacte de groupe), j'avoue que ça me dépasse.
Pour la solution "plus élémentaire", ça me semble proche de ce que j'ai fait. Je l'ai en quelque sorte "redémontré", non ?
Donc tu me dis qu'on aurait de suite pu dire que G est ismomorphe à P*Q*R, qui sont tous trois abéliens, et on aurait ainsi pu conclure ?
Ce que tu as fait est juste. Par contre deux petites remarques (que je sous-entendais ci-dessus) :
1) si K est un sous-groupe distingué, H est un sous-groupe et K et H sont disjoints, le produit KH est toujours un sous-groupe de cardinal |K| * |H|. Tu devrais pouvoir démontrer ça de manière général, sans hypothèse d'abélianité.
2) Si de plus K et H sont tous deux distingués alors les commutateurs [k,h] sont triviaux (i.e. le produit est direct...). Ici aussi on a pas besoin de l'hypothèse d'abélianité !
3) En faisant une jolie récurrence tu peux montrer le théorème suivant : si les Sylow sont distingués et abéliens le groupe est abélien. La réciproque étant évidente.
Fais attention à la rédaction... Bon courage.
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