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ALGEBRE Linéaire II

Posté par
c0ch1 15-10-09 à 05:32

Voici une question qui m'est resté en suspend et qui  me trotte dans la tête...

Vrai ou Faux. La matrice identité Id3 a exactement 3 racines cubiques ans l'anneau des matrices a coefficient réels.

Si vrai, démontrer,
si faux, trouver au moins 4 racines cubique de I3.

Merci...

C'est assez complexe...:?

Posté par
freniclere : ALGEBRE Linéaire II 15-10-09 à 07:31

Bonjour

Il y a I3, J et J2 avec  

3$J=\(\array{-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&0\\-\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}&0\\0&0&1}\)

mais aussi, par exemple,

K et K2 avec

3$J=\(\array{1&0&0\\0&-\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}\\0&-\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}}\)

Posté par
c0ch1re : ALGEBRE Linéaire II 15-10-09 à 07:48

Alors c'est faux, il y a plus qu'exactement 3 racine cubique dans l'anneau des matrices a coefficient réels

car il y a ici Id3, J et J2, et aussi K et K2

Posté par
freniclere : ALGEBRE Linéaire II 15-10-09 à 07:52

En effet.
Tu as compris d'où sortent J et K ?

Posté par
c0ch1re : ALGEBRE Linéaire II 15-10-09 à 07:55

Pas très clairement non, si tu as une explication ça serait génial!!!

Posté par
freniclere : ALGEBRE Linéaire II 15-10-09 à 08:05

Il y a un isomorphisme entre et les matrices carrées d'ordre 2 de la forme
a b
-b a

Dans cet isomorphisme le complexe j = -1/2 + i(3)/2 (qui est une racine cubique de 1) correspond à
-1/2    (3)/2
-(3)/2   -1/2

On en déduit un isomorphisme entre et les matrices de la forme
a b 0
-b a 0
0 0 1

Mais on peut choisir aussi les matrices d'ordre 3 de la forme
1 0 0
0 a b
0 -b a


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