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algèbre linéaire

Posté par
Stephmo 24-07-08 à 11:45

bonjour !

j'ai des problèmes avec des exos sur l'algèbre linéaire, est-ce quelqu'un peut regarder mon raisonnement et me dire où je fais faux?

Ecrire les matrices associées aux applications linéaires suivantes relativement à la base B :

a.) f: (x;y)-->(2x-3y;x-y) avec B=(u1;u2) où u1(1;-1) et u2(-3;2)

ce que j'ai fait :

f(u1)=f((1;-1))=(5;2)=?u1+?u2

f(u2)=f((-3;2))=(-15;-5)=?u1+?u2

on pose f(u1)=u1+u2

et je trouve = 16 et =-7

on pose f(u2)='u1+''u2

et je trouve'=-45 et '=10

Chercher l'image et le noyau des applications linéaires suivantes :

g: (x;y)-->(2x-4y-6z;-x+2y+3z;-y-3z)

pour le noyau j'ai trouvé la droite vectorielle x-2y-3z

mais pour l'image je suis bloquée...je trouve 3

merci d'avance!

Steph

édit Océane : niveau modifié

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 11:52

Salut Stephmo

Premier truc : Ok pour f(u1) = 16u1 - 7u2

Par contre je ne suis pas d'accord avec f(u2) : c'est (-12,-5) non ?

Posté par
Stephmore : algèbre linéaire 24-07-08 à 11:55

oui c'est (-12;-5)...et après alpha=-33 et béta = 7 non ?

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:04

Nope, 3$f(u_2)=39u_1+17u_2 donc 3$\rm{mat}_{\scr{B}}(f)=\(\array{16&39\\-7&17\)

Et pour le deuxième truc je ne suis pas ok non plus

En notant 3$\{2x-4y-6z=0\;\rm{(1)}\\-x+2y=0\;\rm{(2)}\\y-3z=0\;\rm{(3)}

on voit que (1)-2*(2) donne z=0 donc y=0 et x=0

Donc le Ker f est réduit au vecteur nul. Sachant qu'on est dans un esp vect de dimension finie (R3), on a tout de suite que Im f = R3 (th du rang)

Toi tu trouvais 3$\rm{dim}(\rm{Im} f) =3 et 3$\rm{dim}(\rm{Ker} f) =1 et donc 3$\rm{rg}(f)+\rm{dim}(\rm{Ker} f)=4\not=3

Posté par
Stephmore : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:12

ok...merci beaucoup j'ai compris mais dans les corrections du prof il m'a marqué ça :

Ker(g)={u(x;y;z)/u=k.(-3;-3;1) ( il s'git d'une droite vectorielle)

Im(g)={v(x;y;z)/v=k.(2;.1;0)+k'(2;-1;1)} ( plan vectoriel)

et je ne vois pas du tout comment il arrive à ce résultat...

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:18

Le Ker est faux. Prends par exemple k=1 dans
Ker(g)={u(x;y;z)/u=k.(-3;-3;1) ( il s'git d'une droite vectorielle)

et calcule g(-3,-3,1)

Posté par
Stephmore : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:20

ok...c'est bien ce qu'il me semblait et l'Im elle est juste ?

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:34

Oui, c'est bien R3

Posté par
Stephmore : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:45

ok ! merci beaucoup en tout cas ...je vais continuer mes exos

merci beaucoup !!!

bon aprem !

Steph

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:52

De rien Steph

Si tu as d'autres exos n'hésite pas !

Bonne aprèm à toi aussi

Posté par
infophilere : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:53

Ca t'a manqué à ce point l'algèbre guitou ?

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 12:59

Faut bien se remettre dans le bain Et pis faut que je revois toute la chimie donc ça me fait un peu de répit

Posté par
infophilere : algèbre linéaire 24-07-08 à 13:00

La quoi ?

T'as commencé les bouquins :S ?

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 14:22

Les quoi ?

Nan pas encore mais j'espère les finir avant début aout L'espoire fait vivre

Posté par
Camélia Correcteurre : algèbre linéaire 24-07-08 à 15:56

Bonjour

Je n'ai pas vérifié les calculs, mais si g est de R2 (ce qui est écrit, mais z manque) ou de R3 (ce qui est probable) dans R3 et si le noyau n'est pas trivial, l'image ne peut en aucun cas être R3.

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 15:58

Bonjour Camélia

Après calculs, je suis convaincu que le noyau est réduit au vecteur nul.

Posté par
Camélia Correcteurre : algèbre linéaire 24-07-08 à 16:02

Bonjour gui_tou j'aime mieux ça.

Pour expliquer je rappelle que

dim(Ker(u))+dim(Im(u))=dim(espace de départ).

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 24-07-08 à 16:12

Toutafé

D'ailleurs il manque un pti "z" dans ton énoncé steph

Citation :
Chercher l'image et le noyau des applications linéaires suivantes :

g: (x;y;3$\rm\red z)-->(2x-4y-6z;-x+2y+3z;-y-3z)

Posté par
Stephmore : algèbre linéaire 25-07-08 à 11:12

oups ! j'ai mal recopié ^^

j'ai fini tout ce qui est image, noyau , valeurs propres etc...et je suis bloquée sur un exos avec les transformations...

Pour chacune des matrices suivantes, reconnaître la transformation géométrique correspondante, en donner les éléments caractéristiques et écrire la matrice A' associée à cette transformation relativement à une base de vecteurs propres à déterminer.

alors là c'est à partir de écrire la matrice A' etc...que je ne comprends plus ce que je dois faire

a.) A=( -3/5    -4/5
        
        -4/5    3/5 )

(je ne sais pas comment faire une matrice avec le latex ...j espère que ça sera lisible)

est-ce que t'arriverais à me montrer pour celui là comment je dois faire ...

merci d'avance

Steph

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 25-07-08 à 11:23

D'abord il faut voir que A est une matrice orthogonale.

Ensuite cherche le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice dans la base canonique de R².

Suivant la dimension du noyau, déduis-en la nature de f.

Posté par
Stephmore : algèbre linéaire 25-07-08 à 11:25

Citation :
Ensuite cherche le noyau de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice dans la base canonique de R².


heu...j'ai pas compris...endomorphisme ?

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 25-07-08 à 12:21

Soit 3$\scr{B}=(e_1,e_2) une BOND de E. Soit 3$f\in\mathcal{L}(E) tel que 3$A=\rm{mat}_{\scr B}(f)

3$A=\(\array{-3/5&-4/5\\-4/5&3/5\)

¤ On a bien 3$A\in\mathcal{O}_2({\bb R}) donc 3$f\in\mathcal{O}(E)

De plus 3$A^2=I_2

¤ Soit 3$F=\rm{Ker}(f-Id_E)

Soit 3${\vec{u}\|x\\y}_{\scr B}\in E

3$\vec{u}\in F\ \Leftright\ f(\vec{u})=\vec{u} \\ \vec{u}\in F\ \Leftright\ \{-3/5x-4/5y=x\\-4/5x+3/5y=y\} \\ \vec{u}\in F\ \Leftright\ \{\fr85x+\fr45y=0\\\fr45x+\fr25y=0\}

La première équation vaut deux fois la seconde, donc

3$\vec{u}\in F\ \Leftright\ \fr45x+\fr25y=0
3$\vec{u}\in F\ \Leftright\ 2x+y=0
3$\vec{u}\in F\ \Leftright\ \{x=-\fr12y\\y=1y

F est la droite vectorielle orientée par 3$\vec{w}\|-1\\2 ou encore par 3${\vec{n}\|\fr{-1}{\sqrt5}\\\fr{2}{\sqrt5}}_{\scr B (vecteur normé)

Donc 3$f est une symétrie. Plus précisément, 3$f est la symétrie d'axe orienté par 3$(\vec{n}) dans le plan E.

Sauf erreur

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 25-07-08 à 12:24

symétrie orthogonale *

Posté par
Stephmore : algèbre linéaire 25-07-08 à 15:20

merci beaucoup beaucoup beaucoup ! je ne suis pas sûre d'avoir compris toutes les notations que t'as utilisées...je vais essayer de faire les autres pour être sûre d'avoir compris le principe

encore merci !

bon aprem !

Steph

Posté par
gui_toure : algèbre linéaire 25-07-08 à 16:05

De rien Steph

Pour les notations :

3$\blue \bullet 3$\mathcal{L}(E) : ensemble des endomorphismes de E

3$\blue \bullet 3$\mathcal{O}_2({\bb R}) : ensemble des matrices carrées 2*2 orthogonales

3$\blue \bullet 3$\mathcal{O}(E) : ensemble des endomorphismes orthogonaux de E

3$\blue \bullet 3$I_2=\(\array{1&0\\0&1\) : matrice unité 2*2

Voili voilou ^^

Bon aprèm à toi aussi


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