Salut

Une petite indication : Utilise le théorème du rang.

si je l'applique ça me donne n = dim Ker(f^n)+ dim Im (f^n) mais je ne connais pas dim Im (f^n), c'est cela mon problème !

d'accord je viens de montrer à la question précédente que la suite Uk=dim(Ker f^k) est croissante et majorée par n et que l'on appelle p le plus petit entier tq Ker p = Ker p+1

Il doit y avoir un rapport, mais je ne vois pas lequel

Voila il manquait un bout.

Ta suite est stationnaire.

Tu as

Cela dit pour répondre à ta question, on ne peut rien dire de plus sur Ker(f^n) et Ker(f) sans d'autres hypothèses. Cependant je pense que le but de l'exercice est de les comparés plutôt que de les calculer.

on ne peut pas conclure que dim ker (f^n) =n ?

si dim(Ker(f^n)) était égal à n alors Ker(f^n) serait égal à E, donc f^n serait identiquement nulle ce qui n'est a priori pas le cas ici.

ok je vois, mais comme pour tout k supérieur à p dim ker f^k est constant , on ne peut pas déterminer cette constante ?

A priori non

Cet entier p est appelé l'indice de l'endomorphisme f, dans certains cas il peut être déterminé facilement, par exemple lorsque 1 est valeur propre de l'endomorphisme.

un dernière question nightmare : qu'est-ce que ça change si l'on suppose p=n ?

bonjour magnum
je ne sais plus si c'est avec toi ou un autre  que j'ai commencé ce problème des noyaux
ici s'il faut comprendre que p est le plus petit entier à partir duquel la suite est stationnaire alors si n=p les noyaux sont distincts jusqu'au rang n,leurs dimensions aussi, comme la suite des dimensions est majorée par n on a donc dim Ker(fⁿ)=n et dim Ker(f)=1