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algebre linéaire
bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice svp :
Soit E l'ensemble des suites réelles (Un) telles que : Un+3 = (3/2)Un+2 - (3/4)Un+1 + (1/8)Un
1.a. montrer que E est un espace vectoriel sur R
je ne vois pas comment faire avec une suite..
b. soit f l'application de E dans R3 définie par f(u)=(u0,u1,u2)
montrer que f est un isomorphisme de E sur R3.
en déduire la dimension de E
2. on pose an=1/2n, bn=n/2n , cn=n²/2n
montrer que ces trois suites forment une base de E
3. montrer que si u appartient à E, la série de terme général Un converge. on note : s(u) = somme de k=0 à infini (Uk)
4. calculer s(a),s(b),s(c)
merci beaucoup
Bonjour
1) Prends une suite vn qui vérifie la même équation que un, car elle est élément de E
- montre que (un+vn) vérifie AUSSI la même equation
- pareil pour K.un
Alors tu auras montré que E est un espace vectoriel
je ne sais plus trop comment on fait..
Un+3 + Vn+3 = 3/2(Un+2 + Vn+2) -3/4(Un+1+Vn+1) + 1/8(Un+Vn)
mais après ?
merci ^^
pas tout a fait:
un+3 + vn+3 = [(3/2)Un+2 - (3/4)Un+1 + (1/8)Un] + ([3/2)vn+2 - (3/4)vn+1 + (1/8)vn]
= 3/2(Un+2 + Vn+2) -3/4(Un+1+Vn+1) + 1/8(Un+Vn)
conclusion: la suite (un+vn) vérifie la propriété des éléments de E, donc (un+vn) appartient à E
fais pareil avec k.un
c'est le genre de question pas très difficile pour le calcul, mais importante pour l'interprétation, et la suite du problème.
pour la 2e je dois montrer que c'est une application linéaire bijective c'est bien cela?
Ker(f)=0, en effet (u0,u1,u2) E Ker(f) => u1=u2=u0=0
en revanche, comment faire pour la surjectivité ?
merci
- Pour le Ker, il faut ajouter que puisque u0,u1,u2 = 0, tous le un sont nuls (donc c'est la suite nulle)
- pour la surjection tu prends un point de IR3 ,de coordonnées (a;b;c) et tu cherches un antécédent par f
la suite un définie par u0 = a u1 = b u2 = c et Un+3 = (3/2)Un+2 - (3/4)Un+1 + (1/8)Un fera l'affaire!
je n'arrive pas à montrer la sujectivité. est ce que je peux démontrer l'isomorphisme avec les bases ?
merci
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