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Algèbre linéaire
Bonjour, je n'arrive pas à répondre à une question d'exo, j'espère que vous pourrez m'aider 
Soient 1 et
2 deux ensembles définis par:
1
²
2
².
La question est: 1
2, un sous-espace vectoriel de
² ?
Je réponds non à cette question mais je n'arrive pas à présenter le contre-exemple...
Merci de m'aider
Tu prends deux éléments qui appartiennent à ton union : la somme des deux, si cette union est un sev, doit encore y appartenir, donc appartenir à E1 ou à E2 (par définition d'une union). Or (2,0) n'appartient à aucun des deux : c'est absrude, donc E1UE2 ne peut pas être un sev.
Re Bonjour
Je suis tombé un peu plus loin sur ce même exercice et je n'arrive pas à répondre à cette question:
Montrer l'unicité de l'expression: 1
2 pour tout
de
² avec 1
1 et
2
2 Interpréter ce résultat.
Merci de m'aider
Re bonjour,
imagine qu'on puise écrire u1+u2 = u'1+u'2 avec u1,u'1 dans E1 et u2,u'2 dans E2.
alors, u1-u'1 = u2-u'2.
Or, E1 et E2 sont des sev de R², donc u1-u'1 est dans E1, et u2-u'2 dans E2.
Ces deux vecteurs sont égaux à un même vecteur x qui est à la fois dans E1 et E2, donc dans leur intersection.
Or il est immédiat que cette intersection est réduite au vecteur nul (le vérifier à partir de leurs équations), d'où x=0.
Cela entraîne immédiatement, par définition même de x:
u1 = u2 et v1 = v2.
La décomposition de tout u en u1 + u2, si elle existe, est donc bien unique.
Que E1 et E2 sont en somme directe; mais bon, c'était déjà évident puisque leur intersection était réduite au vecteur nul...
Justement, pourriez-vous me ré-expliquer votre réponse
Ces deux vecteurs sont égaux à un même vecteur x qui est à la fois dans E1 et E2, donc dans leur intersection.
Or il est immédiat que cette intersection est réduite au vecteur nul (le vérifier à partir de leurs équations), d'où x=0.
car je n'ai pas trop compris
Merci beaucoup pour vos explications.
Tu appelles x le vecteur u1-u'1, qui est aussi u2-u'2.
u1 et u'1 sont dans le sev E1, donc leur différence x aussi.
De même, x = u2-u'2 est dans E2.
Donc x est dans E1 inter E2.
Or E1 inter E2 est l'ensemble des vecteurs dont les coordonnées (x,y) vérifient à la fois y=x et y=-x, d'où y=x=0.
Ainsi x est le vecteur nul.
Mais x=u1-u'1 donc u1 = u'1.
De même, u2 = u'2.
Conclusion : si l'écriture u = u1 + u2 existe (avec u1 dans E1 et u2 dans E2), alors elle est unique.
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