Bonjour,

as-tu vu dans ton cours la notion de dimension, ainsi que la formule donnant dim(A + B) où A et B sont des sev d'un espace vectoriel?

Bonjour Tigweg

Cette formule:
?

Oui exactement!

Bon, puisque tu la connais ça va être rapide:

que peux-tu dire de la dimension de A+B ici?

Euh... Je ne sais pas

En utilisant la formule ?

A et B sont deux hyperplans: A est le noyau de f: (x,y,z)x+y+z et B est le noyau de g : (x,y,z)2x-y-3z.

f et g sont libres (il est facile de vérifier que af+bg=0 a=0 et b=0) et AB = {3x-2z=0}

Ca signifie que si v = v₁ + v₂, tu peux faire "basculer tout vecteur verifiant 3x-2z=0 de v₁ à v₂ et réciproquement. Ca c'est pour écrire la somme de plusieurs manières.

Maintenant dim(A)=2, dim(B)=2 et comme f et g sont libres, 3dim(A+B)>dim(A)=2. Donc dim(A+B)=3 et A+B=³. Ca c'est pour l'existence de lécriture de v sous forme de somme.

Voilà.

Il faut bien comprendre que si A+B est égal à tout l'espace, cela signifie que tout vecteur de l'espace est égal à une somme de deux vecteurs de A et B.

Mais pourquoi ?

Car le noyau d'une forme linéaire non nulle f de R^n dans R est de dimension n-1 d'après le théorème du rang:

dim(Im f) = dim(R^n) - dim(Ker f)

avec dim(Im f) = 1 puisque Im(f) est un sev non nul de R, donc dim(Ker f) = n-1.

Dans ton exemple, x+y+z est une forme linéaire non nulle de R^3 dans R, donc son noyau, qui n'est autre que A (par définition) est bien de dimension 3-1 = 2.

Idem pour B.

J'ai oublié de dire que je n'ai pas encore traité en cours la notion de noyau...

Une façon plus élémentaire de le voir est que tu sais depuis la Terminale qu'en dimension 3, tout ensemble d'équation ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c) différent de (0,0,0) est l'équation d'un plan affine, donc un sous-espace affine de dimension 2.

Ici tu as donc pour A et B des sous-espaces affines de dimension 2 passant par 0, c'est-à-dire des sev de dimension 2.

Et il n'y aurait pas un moyen plus "calculatoire" ?

Merci pour vos explications

Argh!

Bon pas de problème, on peut le voir de façon encore plus élémentaire dans ce cas!

A est de dimension 2 car il contient les deux vecteurs (1,1,-2) et (0,1,-1) linéairement indépendants et qu'il ne contient pas le vecteur (1,0,0) : il est donc de dimension supérieure ou égale à 2 mais strictement inférieure à 3.

Il reste peu de choix!

Mais d'où viennent les vecteurs que vous évoquez dans votre dernier message ?

Ce sont des vecteurs choisis n'importe comment dans A, le principe étant qu'un vecteur est dans A ssi la somme de ses coordonnées est nulle.
J'en ai donc pris deux au hasard qui vérifiaient cette condition, et qui étaient indépendants.

Cela prouve que A est au moins de dimension 2.
Il ne peut pas étre de dimension 3 sinon ce serait tout l'espace, or cela est impossible puisqu'il ne contient pas tous les vecteurs comme le montre le contre-exemple que j'ai donné.

AH Ok. Mais c'est ça qui justifie la "non-unicité" de l'écriture ?

Non, cela et la formule de Grassmann(celle qui donne dim(A+B) prouve que A+B est de dimension 3 (en effet, la dmension de A inter B est strictement inférieure à 2 sinon A et B seraient confondus, ce qui est faux).

Ainsi A+B est tout l'espace, donc tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme somme d'un vecteur de A et d'un vecteur de B.


On a donc prouvé l'existence d'au moins une décomposition de ce type.
Pour la non-unicité, on te demande juste de trouver deux telles décompositions de 0.

Mais qu'est-ce que ça veut dire de trouver deux décompositions de 0 ?

Ca veut dire trouver a et a' dans A, et b et b' dans B tels que l'on ait

0 = a + b et

0 = a' + b'

avec a différent de a' et b différent de b'.

Je peux donc prendre par exemple

a=(3,-2,-1)
b=(0,-3,1)

a'=(1,0,-1)
b'=(2,1,1)

?

Ah non, tu n'as pas 0=a+b dans cet exemple, ni d'ailleurs 0=a'+b' !

Aide: il existe une décomposition évidente.

Pour l'autre, considère un vecteur non nul de A inter B, additionné à son opposé.

Je n'ai pas du tout compris...

Mais je n'ai pas
a=(3,-2,-1) 3-2-1=0
b=(0,-3,1) 2*0+3-3=0

et a+b=0+0=0 ?

Merci de m'expliquer

Non non, a+b est un vecteur, pas un nombre!

a+b = (3+0; -2+(-3) ; -1+1) = (3; -5 ; 0) et ce n'est pas le vecteur nul.

Il faut t'arranger pour que la somme des abscisses fasse 0, idem pour les autres sommes.

OK OK

Je peux donc prendre

a=(0,0,0)
b=(0,0,0)

mais pour a' et b' je n'ai pas trouvé...

Parfait!

Pour l'autre décomposition, relis mon message de 22h00

Je propose

a'=(2,-5,3)
b'=(-2,5,-3)

?

Bravo!

Ok, Merci beaucoup pour votre aide et votre temps !!

Avec plaisir!