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Algèbre Linéaire
Salut à tous, j'ai retrouvé ce devoir sur le net mais j'arrive pas à franchir la 2 e question!
j'ai besoin de vos astuces afin de terminer cet devoir qui me tient tant à coeur!! Jespèr compté sur vous. Merci pour votre Compréhension.
Partie A
dans l'espace vectoriel 
3 muni de la base B= (e1, e2, e3), on considère l'endomorphisme u: 3
3 tel que
u(e1)= 2e1- 3e2+ e3 u(e2)= e1- e2 u(e3)= e2-e3
1- a) Déterminer la matrice M de u dans la base B.
b) Calculer M2 et vérifier que M3=0
c) Calculer (I3 - M)(I3 + M+ M2) et en déduire que I3 - M est inversible. Préciser son inverse.
2- a) Déterminer le noyau de u et sa dimension. Quel est le rang de u?
b) Montrer que 
x 
ker(u2), les trois vecteurs (x,u(x),u2 (x)) forment une base de 3. En déduire que x ker(u2) la famille (x,-u(x), u2(x) ) est une famille libre.
3- On pose e'1= u2(e3), e'2 = -u(e3), e'3= e3
a) Montrer que la famille B'= (e'1, e'2,e'3) est une base de 3.
Donner la matrice P de passage de la base B à la base B'. Calculer P2 et en déduire P-1.
b) donner la matrice M' de u dans B'. Justifier que M' 3= 0.
4- Soit N= M + I.
a) On pose D= P-1 N P
Exprimer la matrice D en fonction de M' et calculer Dn n 
.
b) En déduire que Nn pour tout entier n
5- On considère la suite (pn, qn, rn)nB d'éléments de 3 telle que
pn= 3pn-1+ qn-1, qn= -3pn-1+rn-1, rn= pn-1
avec p1=0; q1=1; r1=0.
On pose:
Xn= (pn)
(qn)
(rn)
a)Montrer que Xn = NXn-1.
b)En deduire pn, qn et rn en fonction de n *.
c) verifier que
n *, pn + qn + rn = 1
Partie B
Soit u un endomorphisme d'un -espace vectoriel de E vérifiant u3 = 0.
1) Pour tout 
, on pose
v = I + u + (2/2) u2
ou I est l'application identité de E.
a) Montrer que l'application 
de dans l'anneau L(E) des endomorphismes de E definie par
, () = v
verifie la propriété
, ' , ( + ') = ()o (')
b) En deduire que l'ensemble G= {v, } est un groupe pour la composition des applications. Quel est l'inverse (v)-1 de v?
2-a) Calculer (v- I)3.
b) Soit n . Etabli une relation du type:
vn = 
nv2 + 
nv + 
nI
ou les coefficients n, n,n sont des nombres réels independants de .
Donner l'expression de ces coefficients (en fonction de n). Que remarque-t-on?
Merci pour votre comprehension.
Si tu as fait la question 1., tu dois avoir la matrice A de l'endomorphisme donc pour avoir la dimension du noyau, tu résouds l'équation AX=0. Tu obtiens une base des solutions qui te donne une solution et à l'aide du th. du rang, tu obtiens la dimension du rang.
Je t'avais demandé tes réponses aux premières questions, mais bon...
Et un effort d'écriture serait le bienvenue.
Question 2.b : Fixons x un vecteur de R3 qui n'appartienne pas à Ker(u²).
Pour montrer que la famille (x,u(x),u²(x)) forme une base de R3, il suffit de montrer sa liberté vu que cette famille est de cardinal 3.
Et comment montre-t-on qu'une famille est libre ?
soient a;b;c des scalaires telque ax+bu(x)+cu2(x) = 0 eton prouve que chacun de ses scalaires est nul; pour mes preocupation jarrive pas a faire le 2-b 2-c 5-b. pour l'instant. Merci pour votre particiation
soient a;b;c des scalaires telque ax+bu(x)+cu2(x) = 0 eton prouve que chacun de ses scalaires est nul
Et tu l'as fait ?
pour mes preocupation jarrive pas a faire le 2-b 2-c 5-b. pour l'instant.
Il n'y a pas de 2.c...
Tu as fait les question 3 et 4 donc ?
Pour faire la 5.b, utilise la 5.a. Tu as une relation de récurrence qui devrait te faire penser aux suites géométriques.
Tu peux donc écrire l'expression de Xn et donc connaître celles de Pn, Qn et Rn.
pour le 2-b jarrive vraiment pas à le faire .
jai fais le 3 et le 4/ pour le 5-b jarrive pas à vraiment le faire mais jai reussi a prouver le 5-b).
Merci por votre aide. Je compte sur vous pour la suite.
Pour la 2.b, tu trouves a=0 en appliquant u² à la relation ax+bu(x)+cu²(x)=0 car u²(x) est non nul puis b=0 en appliquant u à bu(x)+cu²(x)=0 puis c=0. D'où la liberté de la famille (x,u(x),u²(x)) qui forme même une base de R^3 car c'est une famille de cardinal égal à 3.
Pour la 5.b, utilise la 5.a. Tu sais que X(n)=NX(n-1). Or N est une matrice constante, donc tu reconnais une relation de suite géométrique. Tu peux donc écrire X(n)=X(0)Nn. X(0) se détermine facilement grâce aux conditions initiales et Nn a été calculée question 4.b. C'est bon ?
mon probleme c'est que pour u2 c'est la matrice M2 on associe; pour x la matrice X et pour u c'est M.
Ainsi jai u(x) = M*X
u2(x) = M2*X.
Cest comme xa on fait ?
Oui, ce que tu as écris est correct.
Soient x un vecteur de R3 tel que u²(x) soit non nul et a, b et c trois scalaires.
Supposons que ax+bu(x)+cu²(x)=0 (R).
En appliquant u² à cette relation, on obtient au²(x)+bu3(x)+cu4(x)=0. Or u3(x)=0 (on a montré que M3=0 question 1.b) et donc u4(x)=0, d'où au²(x)=0 puis a=0 car u²(x) est non nul par hypothèse.
La relation (R) devient donc bu(x)+cu²(x)=0. En appliquant u à cette relation, il vient bu²(x)+cu3(x)=0 puis bu²(x)=0 puis b=0.
(R) devient donc cu²(x)=0 et fournit alors c=0.
Finalement, a=b=c=0 donc la famille (x,u(x),u²(x)) est libre et a pour cardinal 3 donc forme une base de R3.
C'est tout bon ?
Merci beaucoups, on fait la même chose pour (x, -u(x) , u2(x) ).
Merci, comment montrer la partie B
1-a), 1-b)
Essaye de faire la 1.a, ce n'est pas compliqué.
Fixe et ' deux scalaires.
Développe (+') d'une part, puis ()o(') d'autre part et tu verras qu'il y a bien égalité.
merci monsieur vous etes formidable
on aura ( + ') = () + (') = v + v'
()o(')= jarrive pas a continuer
Attention, n'est pas une application linéaire ! (mais v l'est)
D'une part, (+')=v+'=... je te laisse continuer en remplaçant v et v' par leur expression.
Et, d'autre part, ()o(')=vov'=... je te laisse continuer en remplaçant v et v' par leur expression. En développant, tu vas voir apparaître des termes qui vont se simplifier (car u3=0 par hypothèse). Et, une fois ces simplifications faites, tu vas obtenir l'égalité demandée.
cool! suis content merci, je fais la suite et je vous contacte dans 24h au plus . Merci pour votre aide. Vous êtes un AS
Nous sommes dans lanneaux des endomorphismes pourquoi n'est pas lineaire, elle est bien definie sur L(E).
Non, lis l'énoncé correctement. est une application de dans L(E). Elle est donc définie sur et à valeurs dans L(E).
Et puis même, si était linéaire on aurait alors (+')=()+(') c'est-à-dire v+'=v+v', ce qui n'est visiblement pas le cas vu la présence du ² (terme non linéaire) dans l'expression de v.
Bref, pour répondre à cette question, procède comme je l'ai expliqué dans mon message de 23h26.
Merci jai reussi a faire cette question, Je continue et je vous contacterai pour quelconque difficultées.
Merci encor une fois.
jarive à deduir le 1-b) j'essaie d'utiliser le 1-a) Mais j'y arrive pas.
Aidez moi svp aussi pour la question 2)
Merci.
merci jai fini la partie A.
Il ne me reste plus que montrer le 1-b) aussi la question 2).
Juste besoin d'indications et c'est gagné........
Merci pour votre aide
Bonjour,
Désolé pour le retard, mais j'étais parti quelques jours à l'étranger.
Question 1.b : quels sont les axiomes à vérifier pour montrer que (G,o) est un groupe ?
Question 2.a : tu dois pouvoir calculer (v-I)o(v-I)o(v-I).
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