Bonjour,

fog n'a pas de sens ici... Par contre gof oui, et c'est toujours une application linéaire.

oui c'est g°f pardon
as-tu une idée de la réponse?
merci

comme je l'ai dit, gof est tout le temps une application linéaire, la question est soit mal posée, soit complètement triviale !

complètement trivial en effet, je me suis complètement planté...désolé

Je repose le problème:

Soit f linéaire de E dans G
Soit g linéaire de F dans G
Sous quelle condition existe-t-il h linéaire de E dans F telle que goh=f

Merci, et encore désolé

C'est déjà plus intéressant

Une condition nécessaire est que Im(g) soit dans Im(f). A vue de nez je dirais qu'elle est suffisante.

A prouver.

On veut donc montrer que Img est dans Imf.

Soit x un éléement de Img, montrons que x est dans Imf.

x élément de Img => il existe y de F tel que g(y)=x.
Montrons qu'il existe z de E tel que f(z)=x.


Je ne vois pas bien comment montrer cette existence...

Un indice : Introduit un supplémentaire de Ker(g) dans F.

mon colleur m'avait en effet parlé des supplémentaires...ça m'avait laissé perplexe...

je sais juste qu'un supplémentaire de Kerg dans F va être isomorphe à Img, mais je ne vois pas bien comment me servir de cela...

Pour x dans E, il existe un y dans F tel que f(x)=g(y).

Notons

y est de la forme a+b avec a dans Ker(f) et b dans X.

Considère l'application k de E dans F qui à x associe b ainsi défini. Vérifie qu'elle convient.

Merci beaucoup!

je pense plutôt que F=X+Kerg...

Grâce à ton aide, on peut proposer la solution suivante (?):

On suppose Imf dans Img.
Pour x dans E, il existe y dans F tel que f(x)=g(y).
On note F=X+Kerg (X est alors isomorphe à Img)
D'où y dans F s'écrit y=a+b, a dans X et b dans Kerg.

Ainsi, il existe h linéaire de E dans F telle que h(x)=a.
h(x)=a => g(h(x))=g(a)=g(a)+g(b)=g(a+b)=g(y)=f(x).

Cl: à condition que Img soit dans Imf, il existe h linéaire de E dans F telle que goh=f.

Effectivement c'est Ker(g).

Ensuite, je ne comprends pas ton "ainsi, il existe h linéaire blabla", ça découle de quoi?

J'aurai peut-être plutot du dire:

On considère h linéaire de E dans F telle que h(x)=a.
Montrons que h convient: on a h(x)=a => g(h(x))=g(a)=g(a)+g(b)=g(a+b)=g(y)=f(x)

On a bien trouvé h tel que goh=f

Ca ne va pas, il faut montrer que h est linéaire, pas la supposer linéaire!

alors je ne vois pas...

Bah tu poses ton application de E dans F qui à x associe a, il s'agit de démontrer qu'elle est linéaire. Comment on montre qu'une application est linéaire?