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Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème

Posté par
NicoNien 23-10-09 à 17:13

Bonjour à tous.

Je sollicite votre aide après m'être pris la tête sur un exercice que voici :

ENONCE

On note E = {(x,y,z)3 / x² + y² + 2 = x.y.z}

1) Vérifier que pour tout (x,y,z) de E les éléments suivants sont aussi dans E : (-x,-y,z),(-x,y,-z),(z,-y,-z),(y,x,z)

2) En déduire que l'ensemble E sera connu dès qu'on aura déterminé l'ensemble F tq
F = {(x,y,z)*3 / x² + y² + 2 = x.y.z  et  xy}

3) On note G = {(x,y,z)*3 / x² + y² + 2 = x.y.z  et  x<y}
   On note f : 33
               (x,y,z)(z.x - y,x,z)

a) Montrer que (x,y,z)G => f(x,y,z)F
b) Etablir CF(G) = {(1,1,4)}

4) En déduire que F = (gn(1,1,4), n}
   avec g : 33
            (X,Y,Z)(Y,YZ-X,Z)

g0 désigne Id3
g1 désigne g
g² désigne g o g
etc ...


MES REPONSES :



Question 1
J'ai remplacé chaque trio d'éléments dans l'équation de E, et je suis à chaque fois retombé sur x² + y² + 2 = x.y.z , cela suffit t-il pour prouver qu'ils sont aussi dans E ? (il me semble que oui mais je préfère avoir un avis extérieur).



Question 2
Ils disent de déduire de la question 1 qu'une fois F déterminé, on connaîtra E.
Je ne vois pas du tout ce qu'ils veulent dire, et ne comprends pas du tout ce que le xy vient faire ici.
La seule chose qui me vienne à l'esprit, c'est que si (x,y,z)*3, on a x.y.z > 0 et donc l'égalité semble cohérente (je ne sais pas si ça sert à quelque chose, mais je ne comprends pas la question).
J'ai fait des calculs en essayant de partir avec x = y, et de raisonner à l'envers avec x > y, mais je ne vois pas quoi faire, et ne vois pas le lien avec la question d'avant, retombant toujours sur la même expression x² + y² + 2 = x.y.z



Question 3 a
Si j'ai bien compris, on me demande :
[(x,y,z)*3 / x² + y² + 2 = x.y.z  et  x < y ]
=>
[(z.x - y)² + x² + 2 = (z.x - y).x.z  et  (z.x - y)x]

J'ai donc fait des calculs :
x² + y² + 2 = x.y.z
z².x² + y² - 2.x.y.z + x² + 2 = z².x² - x.y.z   en additionnant par z².x² et soustrayant par - 2.x.y.z
(z.x - y)² + x² + 2 = (z.x - y).x.z

Et ça à l'air de fonctionner.

Par contre, je ne comprends toujours pas pourquoi on doit avoir x < y



Question 3 b

Honnêtement, j'ai revu tous mes cours de sup, ai fouillé partout dans mes cours de spé, je ne vois pas à quoi ils font allusion (CF(G) ??? Que cela veut-il dire ???)



Question 4

Devant la déduire de la question précédente mais ne comprenant pas celle-ci, je suis encore bloqué.




Voilà, veuillez m'excuser pour toutes ces questions et ces incompréhensions, mais si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de main, ce serait vraiment sympa

Bonne journée et merci d'avance

Posté par
esta-fettere : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 23-10-09 à 17:57

bonjour:

Citation :
On note E = {(x,y,z)\in R3/x2 +y^2-xyz= 2}

1) Vérifier que pour tout (x,y,z) de E les éléments suivants sont aussi dans E : (-x,-y,z),(-x,y,-z),(z,-y,-z),(y,x,z)


posons \phi(x,y,z)=x^2+y^2-xyz

on a bien évidemment:
si on remplace x par -x, \phi est remplacé par - \phi
si on remplace y par -y, \phi est remplacé par - \phi
si on remplace x par -x et y par -y, \phi est remplacé par \phi : transformation 1
si on remplace x par -x et z par -z, \phi est remplacé par \phi  : transformation 2

2)
Citation :
2) En déduire que l'ensemble E sera connu dès qu'on aura déterminé l'ensemble F tq
F = {(x,y,z)*3 / x² + y² + 2 = x.y.z  et  ........}

l'ensemble E est l'ensemble tel que \phi(x,y,z)=2
si x,y,z est un triplet de E.en utilisant la transformation 1 et/ou 2 on arrive à avoir 3 réels x_0, y_0, z_0 positifs
et on peut échanger x avec y sans changer la valeur de \phi.
donc si on a un élément de e, on peut trouver un élément de E (x',y',z') tel que
0 \leq x \leq y et 0 \leq z


3) transformation: si les nombres sont positifs avec x inférieur à y et phi(x,y,z)=2
x   en z.x - y
y en x
z en z
il faut montrer que phi ne change pas..
etc...

pour C_F(G) je ne vois pas de quoi on parle....

Posté par
freniclere : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 23-10-09 à 18:04

Bonjour

Question 1.

OK

Question 2.

Il faut prouver que si l'on connaît F, on connaît E.
D'après la question 1, si on a un élément (x,y,z) de F, on en déduit d'autres éléments qui sont dans E. La question est de savoir si on les a tous. Autrement dit, étant donné un élément (X, Y, Z) de E, existe-t-il un élément (x,y,z) de F tel que :

(X, Y, Z) = (x, y, z)
ou
(X, Y, Z) = (-x, -y, z)
ou
(X, Y, Z) = (-x, y, -z)
ou
(X, Y, Z) = (x, -y, -z)
ou
(X, Y, Z) = (y, x, z)

Si X, Y et Z sont dans * et X Y, il suffit de prendre (x, y, z) = (X, Y, Z).
Si X, Y et Z sont dans * et Y X, on prend (x, y, z) = (Y, X, Z)

Si X, Y et Z ne sont pas tous dans *, que faire ?
Indication : XYZ est strictement positif, donc parmi X, Y et Z, il y en a exactement 2 qui sont négatifs.

Question 3b

Je pense que CF(G) est le complémentaire de G dans F.

Question 3a

Je regarde.

Posté par
freniclere : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 23-10-09 à 18:26

Pour la question 3a, tu as montré que
x2 + y2 + 2 = xyz, et x < y
implique
(z.x - y)2 + x2 + 2 = (z.x - y).x.z

Mais tu n'as pas prouvé que cela implique aussi z.x - y x.

Cette dernière propriété est équivalente à
zxy xy + y2 (car y n'est pas nul)
ou encore à
x2+y2+ 2 xy + y2
ou
2 xy - x2 = x(y - x)
Il suffit de prouver que x = 1 et y - x = 1 n'est pas possible...

Posté par
freniclere : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 23-10-09 à 18:27

Bonjour esta-fette

Posté par
esta-fettere : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 23-10-09 à 20:15

Bonjour Frenicle......

Il semblerait qu'on ait les mêmes centres d'intérêts......
une certaine algèbre....
à la fois simple et sophistiquée...

Posté par
freniclere : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 23-10-09 à 22:56

J'avoue

Au fait, je trouve la question 4 assez subtile : je ne vois pas plus simple qu'une sorte de "descente infinie" à la manière de Fermat.
Si tu as une meilleure idée...

Posté par
esta-fettere : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 24-10-09 à 10:22

Bonjour Frenicle:

La descente infinie me semble la meilleure solution à ce stade du problème......

on arrive à 1,1,4.....
donc pour résoudre la question 4, il faut considérer la suite définie par u_{n+1}(x,y,z) = g^{-1}(u_n(x,y,z))

en remarquant que g \circ f donne quelque chose de simple


on aurait pu s'y prendre autrement, en remarquant que z \leq 4
en utilisant (x+y)²+(y-x)²=2 xyz - 4...

la notation C_F(G) se rapporte bien au complémentaire , elle est bizarre....
mais ce sont les triplets (x,y,z) tels que x \leq y mais non x<y donc x=y....

Posté par
NicoNienre : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 25-10-09 à 14:36

Bonjour

Tout d'abord, merci pour vos réponses rapides et précises.

Cependant, malgré votre aide, et après un travail approfondit sur vos réponses, je reste toujours sur la touche, et ça m'ennuie, car en vous lisant, ça à l'air tellement simple.

Pour reprendre les messages dans l'ordre.



Esta-Fette


Question 1

Citation :
posons \phi(x,y,z)=x^2+y^2-xyz

on a bien évidemment:
si on remplace x par -x, est remplacé par -
si on remplace y par -y,   est remplacé par -
si on remplace x par -x et y par -y, est remplacé par : transformation 1
si on remplace x par -x et z par -z, est remplacé par   : transformation 2


J'avoue que c'est sympa de poser = x² + y² - x.y.z, car si j'ai bien compris, on réunit ainsi les éléments dont on a besoin pour savoir si l'expression reste constante quelques soient les triplets utilisés (-2 étant une constante, donc pas besoin de s'embêter avec).
Par contre, pourquoi parler de différentes transformations ? Cela peut-il nous servir par la suite de les différencier ?


Question 2

Citation :
l'ensemble E est l'ensemble tel que (x,y,z)=2
si x,y,z est un triplet de E.en utilisant la transformation 1 et/ou 2 on arrive à avoir 3 réels x0, y0, z0 positifs
et on peut échanger x avec y sans changer la valeur de .
donc si on a un élément de e, on peut trouver un élément de E (x',y',z') tel que
0 x \leq y et 0 z


En fait, mon problème est de passer aux triplets de E aux triplet de F, je m'embrouille l'esprit avec les (x,y,z) de E et ceux de F, et en lisant, je m'embrouille encore plus
En gros, quand vous dites si on a un élément de e, on peut trouver un élément de E, e = E et E = F, c'est ça ? Donc un triplet (x,y,z) de E et un triplet (x',y',z') de F ?

Citation :
si x,y,z est un triplet de E.en utilisant la transformation 1 et/ou 2 on arrive à avoir 3 réels x0, y0, z0 positifs


Cela veut-il dire que le fait de pouvoir remplacer x par -x et y par -y, et de pouvoir remplacer x par -x et z par -z, et de pouvoir remplacer y par -y et z par -z, on peut donc affirmer que quelque soit la valeur des éléments du triplet (x,y,z), restant inchangée, il existe un triplet d'éléments x0, y0, z0, éléments qui sont POSITIFS ? En gros, est-ce grâce à ça qu'on peut affirmer qu'on peut conclure qu'ils sont positifs ?
Et je ne comprends toujours pas pourquoi on aurait comme ça 0 x \leq y ?


Question 3

J'y travaille



Frenicle


Question 1

OK


Question 2

Citation :
Il faut prouver que si l'on connaît F, on connaît E.
D'après la question 1, si on a un élément (x,y,z) de F, on en déduit d'autres éléments qui sont dans E. La question est de savoir si on les a tous. Autrement dit, étant donné un élément (X, Y, Z) de E, existe-t-il un élément (x,y,z) de F tel que :

(X, Y, Z) = (x, y, z)
ou
(X, Y, Z) = (-x, -y, z)
ou
(X, Y, Z) = (-x, y, -z)
ou
(X, Y, Z) = (x, -y, -z)
ou
(X, Y, Z) = (y, x, z)

Si X, Y et Z sont dans * et X Y, il suffit de prendre (x, y, z) = (X, Y, Z).
Si X, Y et Z sont dans * et Y X, on prend (x, y, z) = (Y, X, Z)

Si X, Y et Z ne sont pas tous dans *, que faire ?
Indication : XYZ est strictement positif, donc parmi X, Y et Z, il y en a exactement 2 qui sont négatifs.



Citation :
D'après la question 1, si on a un élément (x,y,z) de F, on en déduit d'autres éléments qui sont dans E.


Je n'arrive pas trop à faire le lien, car dans la question 1, on n'a fait que travailler dans E, mais là vous me dites que l'on prend un triplet de F et on en déduit E. Serait-ce parce que quelque soient les triplet, on retombe toujours sur la même formule. Et donc grâce à ça, on peut affirmer que ces même triplets, on peut les prendre dans F, ie avec (x,y,z)(*)3 ? Désolé, mais tout est confus dans ma tête


Citation :
(X, Y, Z) = (x, y, z)
ou
(X, Y, Z) = (-x, -y, z)
ou
(X, Y, Z) = (-x, y, -z)
ou
(X, Y, Z) = (x, -y, -z)
ou
(X, Y, Z) = (y, x, z)

Si X, Y et Z sont dans * et X Y, il suffit de prendre (x, y, z) = (X, Y, Z).
Si X, Y et Z sont dans * et Y X, on prend (x, y, z) = (Y, X, Z)


Alors là, je m'embrouille complètement.
Pourquoi supposer que (X,Y,Z) de E sont dans * et X Y pour en déduire ensuite le triplet d'élément (x,y,z) de F ? Pourquoi ne fait-on pas le contraire ? On me demande de travailler dans F pour en déduire E, mais si j'ai bien compris, vous travaillez dans E pour en déduire F ?
Et puis comment trouvez-vous un lien entre X Y et (x, y, z) = (X, Y, Z), et entre Y X et (x, y, z) = (Y, X, Z) ? C'est toujours cette histoire de x y qui me dérange, désolé.


Citation :
Si X, Y et Z ne sont pas tous dans *, que faire ?
Indication : XYZ est strictement positif, donc parmi X, Y et Z, il y en a exactement 2 qui sont négatifs.


D'où (si j'ai bien compris) si (x,y,z)(*)3, pour que l'égalité x² + y² + 2 = x.y.z soit toujours vérifiée, si on remplace un élément par son opposé (par exemple x par -x), il faut alors remplacer un des deux autres éléments du triplet par son opposé (par example y par -y), est-ce bien ça ?


Question 3 a

J'ai bien compris tout le raisonnement, mais je bloque à la fin.
Une fois que j'ai 2 x.(y - x), vous dites que x = 1 ET (y - x) = 1 n'est pas possible, mais je n'arrive pas à prouver pourquoi. D'après les éléments que j'ai, on a x < y et (x,y,z)(*)3, donc si je prends par exemple x = 1 et y = 2, ces conditions sont vérifiées, et on trouve bien x = 1 ET (y - x) = 1. Où est l'erreur dans mon raisonnement ?


Question 3 b et 4

J'y travaille


Voilà, veuillez m'excuser de n'avoir quasiment rien compris malgré vos réponses très détaillées, je dois avouer que je galère bien en Algèbre, même si j'aime bien

Merci encore de votre aide.

Bon dimanche

Posté par
esta-fettere : Algèbre Linéaire : Ensembles et Application => Problème 25-10-09 à 16:53

Oui, ......

à vouloir aller trop vite et travailler pour moi, j'ai embrouillé......


pour résumer on a des nombres x;y;z tels que x²+y²-xyz= - 2.

ces nombres sont entiers mais quelconques. et non nuls

Citation :
alors on se dit que si on connait un nombre qui vérifie ça, on en connait beaucoup d'autres:

lesquels,

ceux qu'on obtient en réalisant certaines transformations: la notion est celle d'un groupe qui opère sur un ensemble.

les opérations élémentaires:
1: remplacer x par -x et y par -y c'est (x;y;z) |--> (-x,-y,z)
ne change pas la valeur de x²+y²-xyz.
2. remplacer x par -x et z par -z : idem....
3. etc...
etc....
il y a un tas d'opérations de ce genre.



parmi tous ces triplés "équivalents", il en existe un (x',y',z') particulier:
il possède la propriété que
5$\red 0 < x' \leq y'
et 0 < z'

Citation :
On trouve d'autres transformations pour avoir des nombres tels que x' et y' différents.
comment ?

la transformation est plus compliquée:
(x,y,z)|--> (z.x - y,x,z)
c'est à dire x'=zx-y; y'=x et z'=z
on a (si je ne me trompe x'<y') et y'\leq y

on était parti de (x0,y0,z0), on effectue des transformations et on arrive à (x',y',z') tel que 0<x<y et 0<z

et une fois qu'on sait faire cela, on continue le processus. (x,y,z)|--> (z.x - y,x,z)
comme y diminue toujours strictement  on arrive à un moment où ça doit s'arrêter.....

on s'arrête à (1,1,4).....



Citation :
Le problème qui se pose: on a transformé (x0,y0z0) en (1,1,4) comment faire pour retrouver la forme du début....

c'est à dire qu'on reprend le processus à l'envers.....



et la réciproque du "processus" est la transformation:
  (X,Y,Z)   |---------->   (Y,YZ-X,Z)


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