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Algèbre linéaire : Problème sur les groupes
Bonsoir à tous.
J'ai juste une petite question concernant un exercice sur lequel je me suis attardé.
Comment démontrer que ce qui suit est faux :
"Si G est un groupe pour une loi T donnée et a ∈ G, l'ensemble aG = {aTx, x ∈ G} est un
groupe pour T."
Déjà, que veulent t-il dire par l'ensemble aG ? Serait-ce l'ensemble aG tel que a ∈ G ?
Ensuite, je ne vois vraiment pas comment prouver que c'est faux.
Merci de votre aide.
Bonne soirée.
Bonsoir.
La définition de aG est dans le sujet : c'est l'ensemble de tous les produits du type aTx, x décrivant G.
Il aurait d'ailleurs dû se noter aTG. Peu importe
Tu remarqueras que a étant dans G, les différents aTx sont dans G, donc, première remarque :
¤ aTG 
G
Regarde si aTG ne serait pas un sous-groupe de G.
Bonsoir.
Merci pour votre réponse.
Je dois vous avouer que je sèche toujours sur cette question.
aTG un sous-groupe de G ?
aTGG ?
aTGG car a
G et xG
aTG
?
aTG car aG et xG
(aTG ; T) est un groupe ?
Il faut que je prouve que :
G est fermé par T, ie que aTx est dans aTG ?
Vrai car aG et xG, donc aTxG
T est associative ?
G admet un élément neutre noté 'e' ?
Tout élément de G admet un symétrique dans G ?
J'ai toujours des lacunes sur ce cours car je trouve cela vraiment très abstrait, d'où le fait que je n'y arrive pas.
Déjà, mon raisonnement ci-dessus est-il bon ?
Et puis, pouvez m'expliquer comment continuer SVP ?
En vous remerciant.
Bonne soirée.
Rebonsoir.
Merci de porter attention à mon exercice.
En fait, voici l'énoncé complet (même si les questions n'ont aucun lien entre elles).
I) L'ensemble des polynômes de degrés égaux à n (n > 1) pour l'addition usuelle des polynômes
est un groupe.
II) L'ensemble des matrices carrées de taille n (n > 1) pour la multiplication usuelle des
matrices est un corps.
III) L'ensemble des suites convergeant vers 0 pour la multiplication usuelle des suites est un
groupe.
IV) Si G est un groupe pour une loi T donnée et a ∈ G, l'ensemble aG = {aTx, x ∈ G} est un
groupe pour T.
L'exercice consiste à dire si les propositions sont vraies ou fausse, puis d'expliquer.
J'ai ouïe dire que, dans ce cas, les quatre propositions sont fausses.
J'essaye donc de le prouver, ce que j'ai réussi à faire pour les trois premières propositions, mais pour la dernière, je sèche.
Donc il me semble que pour que pour répondre par vrai ou faux à la proposition IV, il suffit de montrer que aTG est groupe, ou n'en est pas un.
Ensuite, je vous dis, j'ai beaucoup de lacunes sur ce cours (que je m'attarde à rattraper), donc je suis ouvert à toutes propositions 
En vous remerciant.
Bonne soirée 
Bonjour à tous.
Quelqu'un aurait-il donc une idée de comment faire pour résoudre cette exercice ?
En vous remerciant.
Bonne journée.
Bonjour
1) Si tu prends deux polynômes de degré n en général leur somme n'est pas de degré n (0 non plus)
2) Pas beaucoup de sens, pour un corps il faut deux lois... Mais même avec l'addition et la multiplication ce n'est pas un corps, puisqu'il existe des latrices non nulles et non inversibles!
3) C'est clair qu'il n'y a pas d'inverse!
4) est VRAIE car aG=G.
Bonjour;
En fait, voici l'énoncé complet (même si les questions n'ont aucun lien entre elles).
I) L'ensemble des polynômes de degrés égaux à n (n > 1) pour l'addition usuelle des polynômes
est un groupe.
non, ce n'est pas un groupe par exemple P(X) = X^n + 3 et Q(X)= -X^n+5X
P(X) + Q(X) = 5X+3 de degré 1...
par contre si on considère l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n; alors là on a un groupe.
II) L'ensemble des matrices carrées de taille n (n > 1) pour la multiplication usuelle des
matrices est un corps.
(Mn; + , *) n'est pas un corps, car il existe des matrices carrées non inversibles.
III) L'ensemble des suites convergeant vers 0 pour la multiplication usuelle des suites est un
groupe.
NON ce n'est pas vrai
prenons x: la suite définie par =
IV) Si G est un groupe pour une loi T donnée et a ∈ G, l'ensemble aG = {aTx, x ∈ G} est un
groupe pour T.
oui c'est un groupe:
car aG = G
en effet pour tout y de aG, il existe z de G tel que y=aTz.
a appartient à G et z appartient à G donc y appartient à g (car T loi de composition INTERNE)
on a montré que aG inclus dans G....
montrons que G est inclus dans aG.
soit y un élément quelconque de G
x est inversible et la loi est associative et il existe un élément neutre
etc.... donc y appartient à aG
on a montré que a G est inclus dans G.
Conclusion aG = g et c'est un groupe.
Bonjour.
Tout d'abord, veuillez m'excuser pour ma réponse tardive, et puis, merci d'avoir consacré de votre temps à m'aider. En tous cas, me revoici avec une remise à jour sur l'algèbre linéaire Cependant, pourriez-vous confirmer mon raisonnement (plus loin) pour la question IV (que j'ai fait en fonction de votre réponse) ?
J'ai bien lu vos réponses, et apprécie les contre-exemples que vous avez cités (car différents des miens, donc j'ai un autre point de vue ). Je vous écris ce que j'avais déjà répondu pour les questions I à III :
I) L'ensemble des polynômes de degrés égaux à n (n > 1) pour l'addition usuelle des polynômes
est un groupe.
FAUX
Xn + (-Xn) = 0
Or 0 n'est pas un polynôme, donc pas un polynôme de degré n
II) L'ensemble des matrices carrées de taille n (n > 1) pour la multiplication usuelle des
matrices est un corps.
FAUX
Un corps fait intervenir deux LCI
III) L'ensemble des suites convergeant vers 0 pour la multiplication usuelle des suites est un
groupe.
J'avais pris le même exemple, la suite un nulle, qui tend vers 0, mais qui n'est pas inversible, car impossibilité de diviser par 0
IV) Si G est un groupe pour une loi T donnée et a ∈ G, l'ensemble aG = {aTx, x ∈ G} est un
groupe pour T.
Voilà la question où je galérais.
J'ai étudié votre réponse, néanmoins je ne suis pas persuadé d'avoir bien compris.
Pouvez-vous me dire si mon raisonnement est bon ?
En gros, pour montrer que aG est un groupe, il suffit de montrer que aG
G ET GaG, ie aG = G, et comme G est un groupe pour T, aG l'est aussi.
aG
G ?
D'après l'énoncé :
aG, 
G / = aT
Or :
a
G
G => aTG
T est une LCI
Or :
=aT
=> aG
G
aG
G
aG ?
G est un groupe pour T, donc admet entre autres un élément neutre e pour T
G, = eT
Or :
e
G
G => GaG
aG = aTx analogue à
= eT
Donc aG = G et comme G est un groupe pour T, aG est aussi un groupe pour T donc IV est VRAIE
Ce raisonnement pour la question IV, fondé sur votre aide, est-il correct ? S'il ne l'est pas, pourriez-vous me dire où ça cloche ?
En vous remerciant.
Bonne journée
Rebonjour
D'abord pour les questions précédentes : tu dis quelque part que 0 n'est pas un polynôme. Si, si, c'est bien un polynôme (sinon, pas d'élément neutre pour l'addition), mais il n'a pas de degré. Donc ton exemple est bon.
Pour le groupe: est OK, mais pas la réciproque. L'élément a est fixé, donc c'est lui qu'il faut faire apparaitre. Or on est dans un groupe, donc les éléments sont incersible.
Soit g dans G. On écrit ...
Bonjour.
Merci pour la question I, effectivement, 0 est un polynôme (le polynôme nul ?).
Donc si j'ai bien compris, pour la question IV, mon raisonnement devrait être, pour démontrer que GaG :
aG
G est un groupe pour T => G admet un élément neutre e pour T
G, on a :
= eT
= aTa-1T
Or comme aG et G, a-1TG, on peut donc poser x = a-1T
Ainsi, on a :
= eT
= aTa-1T
= aTx
= aG
Donc comme G ET = aG, on a :
GaG
On a donc montrer que :
aGG
GaG
Donc G = aG et donc G étant un groupe pour T, aG est aussi un groupe pour T
Mon nouveau raisonnement est-il correct ?
En vous remerciant.
Bonne journée
= aTx
ET G est symétrisable
Voilà, j'ai tenté de faire un raisonnement le plus complet possible, reste maintenant à savoir s'il est correct
Bonne journée
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