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Algèbre linéaire S3
[tex]
bonjour,
J'ai un grave problème je ois rendre ce sujet pour demain et je n'ai aucune idée de quoi parle le chapitre.
s'il vous plait est ce possible que quelqu'un me résolve ce problème en détail pour pouvoir le rendre au prof si non ma note sera 0 !
PARTIE 1 :
Soit A= a_{i,j} \in M_{n}(K) où K est un corps. On rappel que la trace de A est le réel :
Tr([/i]A[i] = \Bigsum_{i=\1}^{n}\a_{i,i}
1) Montrez que Tr : [i]M_{n}(K)---> K est une application linéaire.
2) Montrer que pour toutes matrices A, B \in M_{n}(K), on a Tr(AB) = Tr(BA).
3) Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.
PARTIE 2 :
Soit K un corps et N une matrice de M_{n}(K) où n 
2. On suppose que Nest une matrice nilpotente d'indice de nilpotence l'entier l'entier n, c'est à dire que l'on a N^{n} = 0 et N^{k} 
0 pour k < n.
1) Montrer que l'on a Ker(N^{n-1}) K^{n}.
2) On considère un vecteur V \in 
^{n} tel que V 
Ker(N^{n-1}).
Montrer que la famille 
= {N^{n-1}V, N^{n-2}V, ..., N^2V, NV, V } est une base de K^{n}.
3) Soit u l'endomorphisme de K^{n} associé à N dans la base canonique de K^{n}.
Déterminer la matrice de udans la base .
4) Calculer et tracer le déterminant de N.
Partie 3 :
Soit t un réel. On désigne par A(t) la matrice Mn() de coefficients ai,j(t) ou ai,j: 
est une fonction dérivable pour tout i , j 
{1,..,n} . On notera Ai,j(t) la sous-matrice de Mn-1(K) associé au coefficiant ai,j(t) et Cj(t) la j-ième colone de la matrice A(t). En particulier on pourra écrire A(t) = (C1(t) ....Cn(t)). De plus la matrice dont les coefficiants sont les nombres dérivés a'ij(t) sera noté A'(t) sa j-éme colone notée C'j(t).
On considère la fonction d: définie par d(t)= det(A(t)).
1) Montrez que d est une fonction continue et dérivable.
2) Montrez que l'on a :
d'(t)=det(jA(t))
ou jA(t) est la matrice C1(t),...,Cj-1(t), C'j(t), C'j+1(t), C'j(t).
3) Déduisez-en la relation:
d'(t)= 
(-1)i+ja'ij(t)det(Aij(t)).
4) Montrez que l'on a la formule d'(t)= Tr( Â(t)A'(t)) ou Ä(t) désigne la transposée de la matrice de cofacteur de A(t).
5) Montrez que lorsque A(t) est inversible, la formule se simplifie en
d'(t): d(t)Tr (A(t)-1A'(t)).
salut
1) définition d'une abplication linéaire...
2) calcule les éléments diagonaux de AB et BA et montre que tu as la même somme...
3) soit A et B 2 matrices semblables; alors il existe P inversible telle que B=P-1AP
donc Tr(B)=Tr(P-1AP)=Tr[(P-1A)P]=...
finis en utilisant 2)
parite II:
1) si = alors contradiction avec l'hypothèse (N serait nilpotente d'indice n-1)
2) tu as n vecteurs, il faut donc montrer que la famille est libre
écris qu'une combinaison linéaire de ces vecteurs est nulle puis applique N à cette égalité
tu en déduis que le premier coefficient est nul
puis en recommençant à appliquer N, tu en déduis que le 2e coef. est nul...
et ainsi de suite tu montres que tous les coef. sont nuls
donc ta famille est libre et forme une base
3) facile que des 1 sur la diagonale au dessus de la diagonale principale et des 0 ailleurs
4) trivial avec 3) et 3) parite I
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