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algèbre linéaire sur espaces de polynomes
Bonjour, je m'entraine sur un problème mais j'aurai besoin d'aide pour le commencer. Il est assez long donc je ne met que le début pour l'instant:
Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel V ; l'endomorphisme noté fk, où k est un entier naturel désigne l'endomorphisme unité IdV si l'entier k est nul, l'endomorphisme obtenu en composant f k-fois avec lui-même si l'entier k est supérieur ou égal à 1 :
f0 = IdV ; fk+1 = fk o f
Soit E l'espace vectoriel des polynômes réels ; étant donné un entier naturel n,
soit En l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n :
E = R[X] ; En = Rn[X].
Soit D l'endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] qui, au polynôme Q, fait correspondre le polynôme dérivé Q'. De même, soit Dn l'endomorphisme de l'espace vectoriel En = Rn[X] qui, au polynôme Q, fait correspondre le polynôme dérivé Q'.
Préliminaires : Noyaux itérés
Soient V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V.
1. Démontrer que la suite des noyaux des endomorphismes fk, k = 0, 1, 2, ... est
une suite de sous-espaces vectoriels de V emboîtée croissante :
ker f0 
ker f1 ker f2 ... ker fk ker fk+1 ...
Voila, je n'arrive pas à démontrer rien que la première question.. est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à résoudre ce problème svp? merci d'avance
bonjour merci de m'aider.
ok ça va pour la 1ere question, je met la suite..
2. Démontrer que, s'il existe un entier p tel que les noyaux des endomorphismes fp et fp+1 soient égaux ( ker fp = ker fp+1 ), pour tout entier q supérieur ou égal à p, les noyaux des endomorphismes fq et fq+1 sont égaux ( ker fq = ker fq+1 ) ; en déduire la propriété suivante :
pour tout entier k supérieur ou égal à p, ker fk = ker fp.
En déduire que, si l'espace vectoriel V est de dimension finie n, la suite des dimensions des noyaux des endomorphismes fk est constante à partir d'un rang p inférieur ou égal à la dimension n ( p 
n ). En particulier les noyaux ker fn, ker fn+1 sont égaux.
3. Démontrer que, si l'endomorphisme u d'un espace vectoriel V de dimension finie n, est tel qu'il existe un entier q supérieur ou égal à 1 ( q 
1), pour lequel l'endomorphisme uq est nul ( uq = 0), l'endomorphisme un est nul ( un = 0 ).
L'endomorphisme u est dit nilpotent.
si
alors pour
donc
donc
donc
donc
et comme de manière générale on a
on a
Et par récurrence ...
Puisque la suite des dimensions est une suite d'entiers croissante et qu'elle est majorée par n, minorée par 0, il existe un rang p à partir duquel elle est constante.
si ker f = {0}, alors ker = {0}
sinon tant que la suite est strictement croissante, la dimension du noyau de est >= j
donc cette suite ne peut être que constante à partir de n, sinon la dimension de serait >=n+1
En conséquence, s'il existe q>n (le cas q<=n est trivial) tel que (equivalent à
), cela veut dire que
ouuh ok ok merci beaucoup ça va j'avais bloqué un endroit mais ça va mieu là ! par contre la suite devient un peu plus dur..
Partie 1 : Existence d'un endomorphisme g tel que g2 = Dn.
1. Montrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel En = Rn[X] tel que g2 = Dn, alors l'endomorphisme g est nilpotent et le noyau de l'endomorphisme g2 a une dimension au moins égale à 2 (dim ker g2 2 ).
2. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel En = Rn[X] tel que g2 = Dn .
La je ne vois pas comment avancer :s
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