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Algebre: Matrices et polynômes
Bonsoir cela fait plusieurs jours que je suis sur cet exercice et je n'avance pas
Merci de m'éclairer
Mn(
) désigne l'ensmble des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients dans
on note E l'ensemble des polynomes à une variable à coefficients réels tels que degré de P 
n autrement ditn[X]={P
[X]/deg(P)n}
Soit n un entier au moins égal à 2; pour i entier variant de 0 à n on considère le polynôme
Pi(X)=(1-X)i(1+X)n-i
si aij est le coefficient de Xi-1 dans Pj-1
Soit A=(aij)Mn+1()
On note E=n[X] et B la base canonique de E.
1/
Lorsque n=2 déterminer A . A est elle diagonalisable
j'ai trouvé A= 1 1 1
2 0 -2
1 -1 1
diagonalisable: dét(xI3-M)=X3-2X²+4X+8=(X-2)(X+2)²
peut on dire le polynôme caractéristique à une racine double alors A n'est pas diagonalisable?
2/
On revient au cas général. Démontrer que (P0, P1,...Pn) est une base de E
la je n'y arrive pas. Je pensais définir la matrice de passage d'une base à l'autre ou trouver un endomorphisme linéaire ?
3/
Soit U l'endomorphisme de E tel que A= MB(u) soit matrice de u dans la base B.
Sachant que pour tout entier jn+1
n+1
Pj-1(X)=
aij Xi-1
i=1
montrer que
n+1
(1+X)nPj-1[(1-X)/(1+X)]=aijPi-1(X)
i=1
En déduire que , pour tout enier jn+1,aijPi-1(X)=2nXj-1
cette question je l'ai réussie
b) Calculer A²; en déduire un polynôme annulateur de A; A est elle diagonalisable
J'ai écrit
A²=(Ckj) 1kn+1,1jn+1
n+1
avec Ckj=akiaij
i=1
ensuite je ne vois pas comment faire
4/ On suppose dans cette question que n est impair et on pose m=(n-1)/2
a)Montrer que B1=(1,X,...,Xm,P0,...,Pm) est une base de E
Je ne vois pas comment et les questions suivantes je suis bloquée
b)(b) Déterminer MB(u) la matrice de u dans la base B1 en déduire le déterminant et la trace de A?
je pense que quand la 4 sera faite je parviendrais à faire les questions de la 5e partie qui suit
5/
On suppose dans cette question que n est pair et on pose m=n/2
a)Montrer que B2 (1,X,...,Xm-1, P0,...,Pm) est une base de E
m m
b) Montrer que ( ) Pk=(1+X)m2m
k=0 pDéterminer MB2(u), la matrice de u dans la base B2; en déduire le déterminant et la trace de A
c) Quelles sont les valeurs propres et les sous espaces propres de A.
J'aurais plus tard le corrigé de cet exo mais j'aimerais comprendre dès maintenant. Merci d'avance pour toute l'aide que vous pourrez me donner
édit Océane : forum modifié
Bonjour
Voilà déjà pour le fait que les polynômes forment une famille libre:
Qi on fait X=1, il reste , donc
. Ensuite on met (1-X) en facteur, et on recommence!
Bonsoir,
Il y a bien longtemps j'ai su, là je suis en train de tout reprendre et j'avoue que j'ai du mal à m'y remettre surtout que les cours que l'on m'a envoyés sont très succints. J'ai commandé des livres que je dois recevoir.
Je reprend les formules ce que j'ai écrit dans l'énoncé mais après je ne vois pas comment faire.
Il s'agit de multiplication ligne par colonne... Ta formule est juste, mais il faut savoir le faire...
Alors voilà pour ton A:
Mais il faut vraiment commencer par là; le reste de l'exercice est vraiment infaisable si tu ne sais pas multiplier deux matrices!
Bonjour
J'avais commencé pour la cas n=2 mais je ne voyais pas ou cela me menait car je
ne suis pas allée au bout. Maintenant je vois mieux. Je pensais qu'il y avait une expression à trouver à partir de la question précédente, autant pour moi c'était simple.
Merci
Là on a besoin de A dans le cas général, ce qui est fait au questions précédentes, mais que je n'ai pas vu!
Je n'y arrive pas, Je sais qu'il faut utiliser
n+1
aijPi-1(X)=2nX(j-1)
i=1
Mais je ne vois pas comment faire
aij est le coefficient de Xi-1 dans Pj-1
donc en égalisant les deux polynomes on a le coefficient devant X(j-1) est égale à aijaji=2n et les autres coefficients sont nuls donc A²=2nIn+1
Est ce que je peux dire cela:
Si A²=2nIn+1
A²-2nIn+1=0
[A-
2nIn+1][A+2nIn+1]=0
Donc le polynôme est scindé mais il a des racines multiples donc A n'est pas diagonalisable
Quelqu'un peut il m'aider pour la question 2b) SVP:
Déterminer MB(u) la matrice de u dans la base B1 en déduire le déterminant et la trace de A?
Il n'y a pas une erreur de signe car je serais tenté de mettre en facteur 3x-1 mais c'est le 3x+1 qui me gene
alors tu mets 3x-1 en facteur
A=(3x-1)(-2+1)+(3x+1)(1-x)
A=-(3x-1)+(3x+1)(1-x)
On ne peut pas factoriser plus
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