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-Algebre- Matrices et valeurs propres.
Bonjour,
J'aurai besoin d'un peu d'aide sur quelques questions:
il s'agit en fait de dire si les énoncés sont vrai (dans ce cas les démontrer) ou faux (donner un contre exemple):
1-Une matrice A de dimension 4 est de rang inférieur ou égal à deux si et seulement si tous les déterminants de dimension 3 extraits de A son nuls.
2-Soit 
1,2,3 trois valeurs propres distinctes d'un endomorphisme f, et u1,u2,u3 des vecteurs appartenants à chacun des sous espaces propres associés. l'égalité u1+u2+u3=0 implique u1=u2=u3=0.
3-Si f est diagonalisable et de valeurs propres 2 et -2, alors f^2-4Id=0.
Je suis ouvert à toutes propositions et à toute suggestions susceptibles de m'eclairer 
Merci.
Pour la 1, fais le un sens après l'autre :
Le sens direct : si A est une matrice de taille 4 et de rang 
2, ça veut dire que si tu prends 3 colonnes (de taille 4) de ta matrice (n'importe lesquelles), elles sont liées.
Choisir une sous matrice de taille 3, ça commence par choisir 3 colonnes de taille 4, puis supprimer une ligne. Or nos 3 colonnes de taille 4 sont liées, donc...
...donc les 3 colonnes de tailles 3 sont aussi liés, donc le determinant est nul.
Merci pour ton aide 
!
Sinon j'ai réussi la 3 .
Par contre je bute sur une nouvelle question et j'aurai vraiment besoin de votre aide:
Une matrice de dimension n et de rang 2 et ayant 3 valeurs propres distinctes, est diagonalisable.
Je ne vois pas comment commencer. 
Si vous pouviez m'éclairer cela serait sympa
Merci.
Pour la 2 c'est vrai car un théorème dit justement "les sous espaces propres d'un endomorphisme associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe".
Un autre théorème dit que si on sait que f est diagonalisable alors le polynome
(X-1)(X-2)...(X-p) annule f. Les i sont les différentes valeurs propres de f.
(X-2)(X+2) = X2-4
sans rien savoir tu peux dire qu' il y a une base où ton endomorphisme est représenté par une matrice diagonale avec des 2 et des -2 sur la diagonale donc son carré est 4I .
Pour ton post du 23-10 à 20h :
Il faut remarquer que quand tu as une application linaire f, le noyau de f (Ker(f)) est égal au sous espace propre associé à la valeur propre 0 (Ker(f-0*Id))
C'est souvent utile cette proprieté. On en déduit par exemple que f est injective ssi 0 n'est pas valeur propre.
Bref, dans notre cas, le rang de ta matrice est 2. Par théorème du rang, ça veut dire que la dimension du noyau est égale à n-2. Mais comme le noyau, c'est aussi le sous espace propre associé à la valeur propre 0.
Il existe deux autres valeurs propres, donc il y a deux autres sous espaces propres de dimension supérieure à 1.
On a donc trois sous espaces propres dont la somme des dimensions est supérieure ou égale à n. On a donc que E est somme directe de ces trois sous espaces propres. Autrement dit, ta matrice est diagonalisable.
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