bonsoir

Que faut-il montrer pour qu'une partie H de G1 soit un sous groupe de G1 ?

que h non vide et pour x,y appartenant à h alors x.y^-1  appartient à h.

bien

donc soit H2 un ss groupe de G2

et posons H1 l'image réciproque de H2 par f.

1) montre que H1 n'est pas vide

plus précisément, prouve moi que H1 contient e1, l'élément neutre de G1

hello ? tu es là ou on abandonne ?

f(e1.e1)=f(e1).f(e1) (homomorphisme)
f(e1)=f(e1).f(e1) donc f(e1)=e2 dans g2. donc e2= eh2 par def d'un sous groupe.
donc f(e1)=eh2 et par def d'une application reciproque e1 appartient à h1

je pense que dans ton cours il est mentionné que l'image de l'élément neutre par un homomorphisme est l'élément neutre. et que donc ici f(e1)=e2

tu veux le redémontrer mais ta démo est fausse !

f(e1)=f(e1).f(e1) n'implique pas forcément que f(e1)=e2 ...

dans un groupe, on peut très bien avoir x=x² sans que x soit l'élément neutre ! (par exemple x=1 dans le groupe (Z,+))

et pour prouver la deuxieme partie?

mais dans le groupe (z,+) on peut avoir x^2? ce n'est pas plutot x+x?

2) soient a et b dans H1...

montre que a*b^-1 est encore dans H1

je n'y arrive pas..

a dans H1 signifie quoi ?

a et b dans h1
f(a) et f(b) dans h2 par def de l'appli reciproque.
f(a)*f(b) dans h2  (h2 sous groupe)
=f(a.b) dans h2 (f homomorphisme)
(a.b) dans h1 par def de appli reciproque.

je ne sais pas ou metre le symétrique dans la dem

on peut faire à part le produit et l'inverse

c'est bien ce que tu as fait

montre de la même façon que si a est dans H1, alors a^-1 y est encore

a dans h1.
f(a) dans h2.
f(a)^-1 dans h2 car h2 sous
=f(a^-1) par def de l'homomorphisme il me semble. dans h2.
a^-1 dans h1

très bien

merci pour l'aide apportée. bonne soirée.

pas de quoi
ce fut un plaisir

mm