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Algèbre (vérification et extension)

Posté par
gbm Webmaster 08-03-10 à 15:47

Bonjour, j'ai un exercice qui me pose problème. Au départ, les questions sont simples mais ensuite, je ne sais pas comment procéder. Ne fuyez pas face à cet énoncé qui parait long !

Voici l'énoncé

Citation :
E est l'ev réel des fonctions C°([0,1],IR).
En est le sous-ev formé des fonctions plonynomes définies sur [0,1] et de degré dn-1.
(n entier naturel 2).
On définit la fonction ei par ei(t) = t^{i-1} (pour tout i de {1,...,n}).

est l'application définie sur ExE par \phi (f,g) = \int_0^{1} f(t)g(t) dt .
On rappelle que c'est un produit scalaire sur E et que (e1,...,en) est une base de En.

1. Calculer (i,j){1,...n}2, \blue{\phi (ei,ej)}.

Soit la matrice HnMn(IR) de terme général (\frac{1}{i+j-1}).

2. a) Calculer les valeurs propres de H2
b) H2 est-elle diagonalisable ?
c) Montrer que H2 est inversible et calculer H2-1.

Pour toute la suite, n2.

3. Justifier que Hn est diagonalisable.

A partir de ce moment-là ça coince...

4. a) Soient PEn et QEn.
On note a1,...,an les réels tels que \blue{P = \sum_{i=1}^n ai.ei}
On note b1,...,bn les réels tels que \blue{Q = \sum_{i=1}^n bi.ei}
A et B sont les matrices-colonnes
définies pas A = (a1,...,an) et B = (b1,...,bn).

Démontrer que \blue{\phi(P,Q) = ^tA.Hn.B}.
Soit A un vecteur propre de Hn. Calculer \blue{\phi (P,P)}.

b) En déduire que les valeurs propres de Hn sont >0.
c) Hn est-elle inversible ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:02

Bonjour

Si tu es arrivé à 4.a), je ne comprends pas ce qui coince... C'est la définition générale!

\phi(A,B)=\sum a_ib_j\phi(e_i,e_j) et c'est immédiat que cette somme est égale à l'expression matricielle!

Si P est vecteur propre de H_n on a {}^tAH_nA=\lambda {}^tAA=\lambda(a_1^2+...+a_n^2). Mais on a aussi \phi(P,P)=\int_0^1P^2(t) > 0.

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:03

Mes 3$\red{reponses} :

1. On calcule \blue{\phi (ei,ej)} = \int_0^{1} ei(t).ej(t) dt = \int_0^{1} t^{i-1}.t^{j-1} dt = \int_0^{1} t^{i+j-2}dt = \blue{\frac{1}{i+j-1}}.

2. a) Je calcule le polynôme caractéristique de la matrice H2 : P = determinant(H2 - \lambda.I_{2}) = 0
<=> (1-\lambda)(\frac{1}{3} -\lambda) - \frac{1}{4} = 0
<=> \lambda ^2 - \frac{4}{3}. \lambda + \frac{1}{3} = 0

soit \fbox{Sp(H2) = [1, \frac{1}{3} ]}.

b) dim(E2) = 2 et deux valeurs propres distinctes => diagonalisable.
c) Je calcule det(H2) = 1/12 >0 donc H2 et inversible.

On trouve
Algèbre (vérification et extension)

3. Hn est symétrique à coefficients réels donc diagonalisable.

4. HELP

Posté par
raymond Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:08

Bonjour.

Par bilinéarité :

3$\textrm \phi(P,Q) = \Bigsum_{i=1}^n\Bigsum_{j=1}^na_ib_j\phi(e_i,e_j)\\ \\ \\ = \Bigsum_{j=1}^n\Big(\Bigsum_{i=1}^n\phi(e_i,e_j)a_i\Big)b_j = ^tA.H_n.B

3$\textrm \phi(P,P) = ^tA.(H_n.A) = ^tA.(\lambda .A) = \lambda ^tAA = \lambda ||A||^2

La norme étant associée au produit scalaire canonique sur IRn

P étant vecteur propre, il est non nul, donc, (P,P) > 0 et ||A||² > 0

On en déduit que, toute valeur propre de Hn est strictement positive.

Cela entraine que Hn est inversible (absence de la valeur propre 0).

Posté par
raymond Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:09

Bonjour Camélia

Comme tu peux le voir, c'est moi qui suis en retard aujourd'hui.

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:09

Bonjour Camélia,

4. a) J'avais fait au brouillon cette première partie \phi(P,Q) = ^t A.Hn.B.

Ensuite ...

Posté par
Camélia Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:10

Salut raymond

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:12

Bonjour Raymond,

C'est A qui est vecteur propre et non P ?

Posté par
raymond Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:15

C'est la même chose en assimilant un polynôme avec la matrice colonne de ses coordonnées sur la base canonique.

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:16

D'accord, puis-je vous solliter pour la suite ?

Posté par
raymond Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:20

Je t'en prie.

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:25

Citation :
Soit f appartient à E. On note \beta i = \phi(ei,f).
On considère les matrices colonnes B = (\beta 1, ..., \beta n) et Ao = Hn^{-1}.B

On note \alpha 1, ..., \alpha n les réels tels que Ao = (\alpha 1, ..., \alpha n) (en colonne) et Po le polynome défini par Po = \sum_{i=1}^n \alpha i.ei.

On considère l'application d : En --> IR définie par d(P) = ||P-f|| (|| || étant la norme associée à \phi).

a) Montrer que pour tout i de {1,...n}, \phi(ei,Po-f) = 0.
b) En déduire que QEn, \phi(Q,Po-f) = 0.
c) Etablir que PEn, ||P-f||^2 = ||P-Po||^2 + ||Po-f||^2.
.

______________________________________________________________________________________________________

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:32

a) Alors, \phi (ei,Po - f) = \phi(ei,\sum_{i=1}^n \alpha i.ei -f) =\phi(ei,\sum_{i=1}^n \alpha i.ei) - \phi(ei,-f) par linéarité, \\ \\ puis [tex]\phi(ei,\sum_{i=1}^n \alpha i.ei) - \phi(ei,-f) = \sum_{i=1}^n \alpha i \phi(ei,ei) - \phi(ei,f) = ||ei||^2 - \phi(ei,f)

alors là ...

Posté par
raymond Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:44

Exploitons le renseignement :

3$\textrm A_0 = H_n^{-1}(B)\\ \\ \\ \Longleftrightarrow \ B = H_n(A_0)\\ \\ \\ \Longleftrightarrow \ \forall i \beta_i = \Bigsum_{j=1}^n\phi (e_i,e_j)\alpha_j

Maintenant, développe

3$\textrm \phi(e_i,P_0-f)

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:50

Je l'ai fait au-dessus de ton message

Posté par
raymond Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 16:51

Oui, mais tu n'as pas exploité ce que j'ai mentionné.

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 17:02

Ah d'accord !

\phi (ei,f) = \beta i

on a \phi (ei,Po-f) = \phi(ei,Po) - \phi(ei,f) = \phi(ei,\sum_{i=1}^n \alpha i.ei) - \beta i = \sum_{i=1}^n \alpha i \phi(ei,ei) - \beta i

mais dans ce cas, pourquoi c'est nul ?

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 17:04

Pour la b) Par linéarité, \phi(Q,Po-f) = \sum_{i=1}^n bi.\phi(ei,Po-f) = 0 avec 2.a).

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 17:33

Puisque tu t'es absenté, je tente de continuer (ou plutôt, expliquer mes pistes de réflexion) :

c) Etablissons que, ||P-f||^2 = ||P-Po||^2+||Po-f||^2

||P-f||^2 = ||P||^2 + ||f||^2 - 2\phi(P,f)

il faut ensuite exprimer 2\phi(P,f) autrement.

Si je développe ||P-Po||^2+||Po-f||^2, on a

||P-Po||^2+||Po-f||^2 = ||P||^2 + ||Po||^2 + 2\phi(P,Po) + ||Po||^2 + ||f||^2 -2\phi(Po,f)

comme ||Po||^2 = \phi(Po,Po), il faudrait montrer que

Citation :
2\phi(P,f) = 2\phi(Po,Po) + 2\phi(P,Po) - 2\phi(Po,f)
?

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 17:36

Pour simplifier ta future réponse, on considèrera
que mon message de 08-03-10 à 17:02 est M1 puis celui de 08-03-10 à 17:04 est M2, etc ...

Posté par
raymond Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 18:08

a) Revois bien mon topic : 16:44

b) D'accord

c)
\textrm ||P-f||^2 = (P-f|P-f) = (P-P_0+P_0-f|P-P_0+P_0-f)\\ \\ \\ = ||P-P_0||^2 + 2(P-P_0|P_0-f) + ||P_0-f||^2

Mais P-P0 est un élément Q de En donc, d'après b) le produit scalaire central est nul

Finalement :

\textrm ||P-f||^2 = ||P-P_0||^2 + ||P_0-f||^2

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 19:13

Merci Raymond, je vais regarder ça en détails.

Il reste une question que je tenterai demain.

Bonne soirée

Posté par
raymond Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 08-03-10 à 20:05

Bonne soirée.

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 09-03-10 à 18:37

Bonsoir Raymond.

J'ai une question à te poser : qu'appelle-t-on formule de Parceval pour un espace préhilbertien ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Algèbre (vérification et extension) 10-03-10 à 14:16

Rebonjour

C'est ParSeval

C'est la généralisation de Pythagore. (moi je dirais hilbertien, je ne me rappelle pas si préhilbertien suffit)

Si (e_i) est une base hilbertienne
||\sum c_ie_i||^2=\sum|c_i|^2

avec utilisation importante évidente pour les séries de Fourier.

Posté par
gbm Webmasterre : Algèbre (vérification et extension) 10-03-10 à 15:18

D'accord merci


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