Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Anneau
Bonsoir à tous~~
Je n'ai pas bien compris les anneaus,est-ce que quelqu'un peut m'aide pour corriger l'exercice suivant?
On considère l'anneau intègre 
[i
3]={a+i3b | a,b
Z}.Soit N:[i3]->
la fonction N(a+i3b)=a2+b2
(i)Montrer que N(u)=1 si et ssi u est inversible dans [i3].
Deduire que les inversibles de [i3]sont +-1.
(ii)Mq v=1+i3 et w=1-i3 sont irreductibles dans [i3].
(iii)Mq v et w ne sont pas premiers (considèrer par ex leur produit)
(iv)Est-ce que 2 est un élément premier de [i3]?
(v)Décrire l'élément general de l'idéal principal engendré par 2
(vi)L'idéal principal engendré par 2 est-il premier?
Bonjour
tu es sur de ton énoncé ?
parce que dans l'état actuel des choses, N(u)=1 <==> (a,b) = (1,0) ou (-1,0) ou (0,1) ou (0;-1), ce qui contredit la fin de la question 1
j'aurais bien vu un 3 dans la définition de N(u)
Bonjour
Non, on ne peut pas modifier, mais on a compris.
1) Bon, des entiers tels que a2+3b2 il n'y a que (1,0) et (-1,0).
2) Si 1+i3=xy avec x et y dans l'anneau, on a N(1+i3)=N(x)N(y) ou encore 4=N(x)N(y). La seule éventuallité avec x et y non inversibles est N(x)=N(y)=2, et il est facile de voir que ceci est impossible. Même raisonnement pour 1-i3.
3) 2 n'est pas dans l'idéal engendré par w, mais 22 y est.
4) De même w n'est pas dans l'idéal engendré par 2 mais w w' y est.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac