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Anneau
Bonsoir à tous,
J'ai un petit soucis avec cet exercice que je ne comprends pas bien:
Montrer qu'un anneau (A,+,×) n'a pas de diviseurs de zéro ssi tous ses éléments non nuls sont réguliers
Je ne vois absolument pas ce qu'il faut faire... si quelqu'un peu m'expliquer l'idée, ce serait avec plaisir...
merci d'avance
gero
Salut 
Commençons par traiter le sens direct.
Supposons alors que A n'a pas de diviseur de 0. Prend x un élément de A non nul. Quelle est la définition d'un élément régulier?
un élément x est régulier si x.a=0 alors x=0
mais cet exercice me semble illogique car chaque entier est un diviseur de 0...
mais cet exercice me semble illogique car chaque entier est un diviseur de 0...
Comment a chaque entier est diviseur deux zéro?
un diviseur de 0 est un élément x non nul tel qu'on peut trouver un y non nul de façon que x*y=0 (i.e que les deux sont non nuls alors que leur produit est nul).
Bien évidemment sur IN (les entiers naturels) on n'a aucun diviseur de 0, on appelle un tel anneau un anneau intègre.
J'ai la correction mais je ne la comprend pas...
Voici la correction:
Supposons que A n'ait pas de diviseurs de zéro.
Soit x∈A avec x≠0. ∀a,b∈A, xa=xb⇒x(a−b)=0⇒a−b=0 car x≠0 donc a=b.
Ainsi x est régulier à gauche. Il en est de même à droite.
Supposons que tout élément non nul de A soit régulier.
∀x,y∈A, xy=0⇒xy=x.0⇒x=0 ou y=0 (par régularité de x dans le cas où x≠0).
Par suite l'anneau A ne possède pas de diviseurs de zéro.
je ne vois pas ce que l'on montre...
Une rédaction ans les "
" ...
Soient P1 et P2 les propriétés suivantes :
P1 : A n'a pas de diviseur de 0.
P2 : Tout élément non nul de A est régulier
1. On a : P1 P2:
preuve: Supposons P1 réalisée . Soit a 
A \ {0}.
Si x A et si ax = 0 (resp. xa = 0) alors x = 0 (sinon a et x seraient des diviseurs de 0). a est donc régulier .
Cela prouve que P2 est satisfaite.
2.On a : nonP1 nonP2:
preuve : Supposons qu'on ait non P1. Il y a donc dans A des éléments a et b non nuls tels que a.b = 0 . Mais alors b n'est pas régulier (il ne l'est pas à sa gauche) et pourtant il est non nul .
P2 n'est donc pas satisfaite.
Conclusion : P1 et P2 sont équivalentes
Remarque : Lorsqu'on a fait souvent ce genre de preuve ou lorsqu"on veut économiser du papier pour la correction on se permet d'aller plus vite .
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