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Anneau artinien
Bonjour bonsoir,
je m'amuse en ce moment avec les anneaux artiniens, et je désire montrer que tout anneau artinien est produit d'anneaux artiniens locaux.
J'ai déjà montré que tout anneau artinien réduit est un produit de corps.
Et je suppose donc qu'un anneau artinien local réduit est un corps.
Seulement je bloque pour la démonstration de cette supposition.
Si j'emploie le lemme de Nakayama, c'est assez direct, seulement les démonstrations que j'ai vu de ce lemme passe par des modules(et je ne veux pas employer les modules), et suppose qu'on sait qu'un anneau artinien est noetherien (qui est une démonstration plutôt fastidieuse, et j'aimerai m'en passer), et c'est donc là que je bloque. Quelqu'un aurait un début de piste ?
Pour la démo avec le lemme : Soit M l'unique idéal maximal, (Mn) est une suite décroissante donc stationnaire, il existe n tel que MMn=M, or M est le radical de Jacobson, donc d'après le lemme Mn=0, l'anneau étant réduit, M=0 et c'est donc un corps.
Merci !
Salouté,
comment tu montre que tout anneau artinien réduit est produit de corps ?
De même pourquoi ne pas "réduire" ton anneau en quotientant par le nilradical ?
J'espère avoir été utile
Bonjour,
pour la démonstration qu'un anneau artinien réduit est un corps.
Déjà on montre que tout idéal premier est maximal, et que les idéaux premiers sont en nombre fini (vrai pour tout artinien).
Reste donc à trouver un isomorphisme entre A et 
1
inA/Mi, qui sera x
(x+Mi)1in.
C'est effectivement un morphisme d'anneau, et le noyaux est l'intersection des idéaux maximaux, qui est l'intersection des idéaux premiers, donc le nilradical, qui est nul par hypothèse : le morphisme est injectif.
Pour la surjectivité : On fixe i, pour tout j
i il existe ui
Mi, xjMj tel que ui+xj=1, alors 1=(ui+xj)=U+xj, et alors l'image de xj vaut 0 dans Mj, et 1 dans Mi, et on en déduit que le morphisme est donc aussi surjectif.
Par contre je ne vois pas en quoi quotienter par le nilradical me permet d'obtenir un isomorphisme avec un produit d'anneaux artiniens locaux ?
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