Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Anneau de Boole
Bonsoir,
je n'arrive pas à terminer un exercice sur les anneaux de Boole.
Soit A un anneau de Boole
(1) J'ai montré que P(E) l'ensemble des parties d'un ensemble non vide E muni des lois différence symétrique et intersection est un anneau de Boole.
Ensuite, j'ai montré que P(E) est isomorphe à l'anneau (Z/2Z)^E des applications de E dans Z/2Z.
(2) J'ai montré que tout anneau de Boole est commutatif et que pour tout x de A, x = -x
(3) J'ai montré que tout anneau de Boole intègre est isomorphe à Z/2Z.
(4) Dans cette dernière question, j'ai montré que la caractéristique de A est 2.
Je dois en déduire qu'un anneau de Boole fini est toujours de cardinal une puissance de 2.
Et le prof met en indication : on peut montrer que tout anneau de Boole fini est isomorphe à l'anneau P(E) muni des opérations différence symétrique et intersection pour un certain ensemble E.
Je n'arrive pas à en déduire cet isomorphisme. Apparement il faudrait "choisir" l'ensemble E mais à part de le prendre fini, je n'ai pas d'idée.
Merci pour votre aide
salut,
oui c'est pas clair, tu peux quand même montrer que l'on peut injecter Z/2Z dans ton anneau de Boole A par un morphisme d'anneau,
on a donc un sous-anneau de A isomorphe à Z/2Z, et on peut voir A comme un espace vectoriel sur Z/2Z.
Montre alors que que A est de dimension finie, et c'est bon.
donc je prends
:Z/2Z
A un morphisme d'anneau ( je ne vois pas trop lequel, x
x ?) donc (A) est isomorphe à Z/2Z et donc on peut voir A comme un espace vectoriel sur Z/2Z (c'est immédiat?)
A étant de dimension finie (pas besoin de le montrer, c'est l'hypothèse, non?), on en déduit que le cardinal de A est une puissance de 2 ??
Ca m'embête un peu de ne pas utiliser l'indication mais je ne vois vraiment pas quoi poser comme isomorphisme...
merci
dans Z/2Z, il n'y a que deux éléments, le neutre pour l'addition et le neutre pour la multiplication,
et avec la définition d'un morphisme d'anneaux, tu n'as pas beaucoup de morphismes au choix, il n'y en a qu' un seul qui est clairement injectif ( n' a pas de sens ici).
on peut voir A comme un espace vectoriel sur Z/2Z (c'est immédiat?)
c'est du cours chapitre 3 paragraphe 3.1.1 au tout début.
A étant de dimension finie (pas besoin de le montrer, c'est l'hypothèse, non?)
C'est du au fait que A est fini par hypothèse, c'est alors quasi-immédiat que A est de dimension finie.
on en déduit que le cardinal de A est une puissance de 2 ??
oui, en notant
En ecrivant maladroitement xx je voulais dire qui a 1 associe 1A et à 0 associe 0A.
Merci pour la référence au cours, je suis larguée à ce niveau là et je n'avais pas lu jusque là.
Si A est fini et A est un espace vetoriel (sur Z/2Z) donc il est forcément de dimension finie ?
Merci pour ton aide
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac