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Niveau Maths sup
Anneau de boole
Posté par geronimo 652
bonjour,
j'ai un petit soucis à la dernière question de cet exercice:
Citation :
On considère (A,+,×) un anneau de Boole c'est à dire un anneau non nul tel que tout élément est idempotent pour la 2ème loi ce qui signifie : ∀x∈A, x²=x.
a) Montrer que ∀(x,y)∈A²,
et en déduire que ∀x∈A, 
.
En déduire que l'anneau A est commutatif.
b) Montrer que la relation binaire définie sur A par x≼y ⇔ yx=x est une relation d'ordre.
c) Montrer que ∀(x,y)∈A²,=0_A)
.
En déduire qu'un anneau de Boole intègre ne peut avoir que deux éléments.
On considère (A,+,×) un anneau de Boole c'est à dire un anneau non nul tel que tout élément est idempotent pour la 2ème loi ce qui signifie : ∀x∈A, x²=x.
a) Montrer que ∀(x,y)∈A²,
En déduire que l'anneau A est commutatif.
b) Montrer que la relation binaire définie sur A par x≼y ⇔ yx=x est une relation d'ordre.
c) Montrer que ∀(x,y)∈A²,
En déduire qu'un anneau de Boole intègre ne peut avoir que deux éléments.
à la dernière question, je ne vois pas comment en déduire que cet anneau s'il est intègre ne possède que deux éléments
car si A est intègre alors : xy(x+y)=0A ⇒ x=0A, y=0A ou x+y=0A.
Or x+y=0=x+x donne y=x.
après pourquoi ça ne marche pas pour trois éléments....
merci d'avance
gero
"En déduire qu'un anneau de Boole intègre ne peut avoir que deux éléments."
A contient 0 et a 
0 .
Si x 
A , la relation ax(a + x) = 0 entralne x = 0 ou, sinon , x + a = 0 càd x = a .
Que veux-tu de plus pour montrer que A = {0 , a} ?
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